Theorem divdiv1d 10684

Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmuld.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
divdiv23d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdiv1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		divdiv23d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
6		divdiv1 10588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl122anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  (class class class)co 6527  ℂcc 9791  0cc0 9793   · cmul 9798   / cdiv 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537

This theorem is referenced by:  discr  12821  hashf1  13053  bcfallfac  14563  eftlub  14627  tanval2  14651  sinhval  14672  sqr2irrlem  14765  bitsp1  14940  4sqlem7  15435  4sqlem10  15438  uniioombl  23108  dvrec  23469  dvsincos  23493  dvcvx  23532  taylthlem2  23877  mcubic  24319  cubic2  24320  quart1lem  24327  quart1  24328  log2cnv  24416  log2tlbnd  24417  birthdaylem2  24424  efrlim  24441  bcmono  24747  m1lgs  24858  chto1lb  24912  vmalogdivsum2  24972  selberg3lem1  24991  selberg4lem1  24994  selberg4  24995  selberg34r  25005  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem4  25014  pntpbnd2  25021  pntibndlem2  25025  pntlemg  25032  irrapxlem5  36232  divdiv3d  38340  mccllem  38488  clim1fr1  38492  sinaover2ne0  38575  dvnprodlem2  38661  wallispi2lem1  38788  stirlinglem3  38793  stirlinglem4  38794  stirlinglem7  38797  stirlinglem15  38805  dirker2re  38809  dirkerdenne0  38810  dirkertrigeqlem2  38816  dirkertrigeqlem3  38817  dirkertrigeq  38818  dirkercncflem1  38820  dirkercncflem2  38821  dirkercncflem4  38823  fourierdlem56  38879  fourierdlem66  38889  sqwvfourb  38946  fouriersw  38948