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Theorem divgcdcoprm0 15298
Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprm0 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Proof of Theorem divgcdcoprm0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcddvds 15144 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
213adant3 1079 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3 gcdcl 15147 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11424 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
5 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
64, 5jca 554 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
763adant3 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
8 divides 14904 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
10 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
114, 10jca 554 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12113adant3 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13 divides 14904 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
159, 14anbi12d 746 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵)))
16 bezout 15179 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
17163adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
18 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = (𝐴 · 𝑚))
19 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = (𝐵 · 𝑛))
2018, 19oveqan12rd 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
2120eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛))))
2221bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛))))
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
2423zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
263nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27263adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
2827ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
29 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
3029zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3130ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
3225, 28, 31mul32d 10191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)))
33 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
3433zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3736zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3837ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
3935, 28, 38mul32d 10191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))
4032, 39oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))))
4140eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
4223adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4329ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4442, 43zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℤ)
4543adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
4645ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
4744, 46zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
4833adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4936ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
5048, 49zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℤ)
5133adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
5251ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
5450, 53zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
5547, 54zaddcld 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℤ)
5655zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ)
57 gcd2n0cl 15150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
58 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ+)
5958rpcnne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
6160ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
62 div11 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
6328, 56, 61, 62syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
64 divid 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
6647zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
6754zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
68 divdir 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
6966, 67, 61, 68syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
7044zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℂ)
7151nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
7271ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
7357nnne0d 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
7473ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
7570, 72, 74divcan4d 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑎 · 𝑚))
7650zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℂ)
7776, 28, 74divcan4d 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑏 · 𝑛))
7875, 77oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
7969, 78eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
8065, 79eqeq12d 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
8141, 63, 803bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
8222, 81sylan9bbr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
83 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) ↔ ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1)
84 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
8584anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)))
8685ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
87 bezoutr1 15201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
9083, 89syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
91 simpll1 1098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
9291zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
93 divmul3 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
9492, 25, 61, 93syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
95 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎)
96 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)))
9794, 95, 963bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
9897biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
9998a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
10099imp32 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
101 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
102101zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
103102ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
104 divmul3 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
105103, 35, 61, 104syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
106 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏)
107 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)))
108105, 106, 1073bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
109108biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
110109a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
111110imp32 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
112100, 111oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (𝑎 gcd 𝑏) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
113112eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
11490, 113sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
11582, 114sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
116115exp32 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
117116com34 91 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
118117com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
119118ex 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
120119com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
121120rexlimdvva 3036 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
12217, 121mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
123122impl 649 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
124123rexlimdva 3029 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
125124com23 86 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
126125rexlimdva 3029 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
127126impd 447 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
12815, 127sylbid 230 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
1292, 128mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wrex 2913   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cdvds 14902   gcd cgcd 15135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136
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