Theorem divge0 11511

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 11509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 86	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 430	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677   ≤ cle 10678   / cdiv 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300

This theorem is referenced by:  mulge0b  11512  ledivp1  11544  divge0i  11551  divge0d  12474  divelunit  12883  adddivflid  13191  fldiv4p1lem1div2  13208  fldiv  13231  modid  13267  modmuladdnn0  13286  expnbnd  13596  sqrtdiv  14627  sqreulem  14721  efcllem  15433  ege2le3  15445  flodddiv4  15766  hashgcdlem  16127  fldivp1  16235  4sqlem14  16296  odmodnn0  18670  prmirredlem  20642  icopnfcnv  23548  lebnumii  23572  nmoleub2lem3  23721  ncvs1  23763  minveclem4  24037  mbfi1fseqlem1  24318  mbfi1fseqlem5  24322  radcnvlem1  25003  cxpaddle  25335  log2tlbnd  25525  birthdaylem3  25533  jensenlem2  25567  amgm  25570  basellem3  25662  ppiub  25782  logfac2  25795  gausslemma2dlem0d  25937  chto1ub  26054  vmadivsum  26060  rpvmasumlem  26065  dchrvmasumlem2  26076  dchrvmasumiflem1  26079  dchrisum0fno1  26089  dchrisum0re  26091  mulog2sumlem2  26113  selberg2lem  26128  pntrmax  26142  pntrsumo1  26143  pntpbnd1  26164  ostth2lem2  26212  axpaschlem  26728  axcontlem2  26753  nv1  28454  siii  28632  minvecolem4  28659  norm1  29028  strlem1  30029  unitdivcld  31146  cvmliftlem2  32535  cvmliftlem10  32543  cvmliftlem13  32545  snmlff  32578  poimirlem29  34923  poimirlem30  34924  poimirlem31  34925  poimirlem32  34926  pellexlem1  39433  pellexlem6  39438  jm2.22  39599  jm2.23  39600  stoweidlem36  42328  stoweidlem38  42330  nn0eo  44595  dignn0flhalf  44685