MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divge0 10837
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 10835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
21biimpd 219 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
323exp 1261 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
43com34 91 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
54com23 86 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
65imp43 620 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881   < clt 10019  cle 10020   / cdiv 10629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630
This theorem is referenced by:  mulge0b  10838  ledivp1  10870  divge0i  10878  divge0d  11856  divelunit  12253  adddivflid  12556  fldiv4p1lem1div2  12573  fldiv  12596  modid  12632  modmuladdnn0  12651  expnbnd  12930  sqrtdiv  13935  sqreulem  14028  iseralt  14344  efcllem  14728  ege2le3  14740  flodddiv4  15056  hashgcdlem  15412  iserodd  15459  fldivp1  15520  4sqlem14  15581  odmodnn0  17875  prmirredlem  19755  icopnfcnv  22644  lebnumii  22668  nmoleub2lem3  22818  ncvs1  22860  minveclem4  23106  mbfi1fseqlem1  23383  mbfi1fseqlem5  23387  radcnvlem1  24066  cxpaddle  24388  leibpilem1  24562  log2tlbnd  24567  birthdaylem3  24575  jensenlem2  24609  amgm  24612  basellem3  24704  ppiub  24824  logfac2  24837  gausslemma2dlem0d  24979  chto1ub  25060  vmadivsum  25066  rpvmasumlem  25071  dchrvmasumlem2  25082  dchrvmasumiflem1  25085  dchrisum0fno1  25095  dchrisum0re  25097  mulog2sumlem2  25119  selberg2lem  25134  pntrmax  25148  pntrsumo1  25149  pntpbnd1  25170  ostth2lem2  25218  axpaschlem  25715  axcontlem2  25740  nv1  27370  siii  27548  minvecolem4  27576  norm1  27946  strlem1  28949  unitdivcld  29721  cvmliftlem2  30968  cvmliftlem10  30976  cvmliftlem13  30978  snmlff  31011  poimirlem29  33056  poimirlem30  33057  poimirlem31  33058  poimirlem32  33059  pellexlem1  36859  pellexlem6  36864  jm2.22  37028  jm2.23  37029  stoweidlem36  39547  stoweidlem38  39549  nn0eo  41584  dignn0flhalf  41678
  Copyright terms: Public domain W3C validator