MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divgt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgt0d 10944
Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
divgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
divgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
divgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divgt0d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 divgt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 divgt0d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 divgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 divgt0 10876 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1325 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921   < clt 10059   / cdiv 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670
This theorem is referenced by:  gtndiv  11439  nndivdvds  14970  nnoddm1d2  15083  bitsfzo  15138  sqgcd  15259  qredeu  15353  pythagtriplem19  15519  pcadd  15574  znidomb  19891  tangtx  24238  cosne0  24257  jensenlem2  24695  bposlem6  24995  lgseisenlem1  25081  2sqlem8  25132  omssubadd  30336  knoppndvlem19  32496  knoppndvlem21  32498  itg2addnclem  33432  pellexlem2  37213  sumnnodd  39662  sinaover2ne0  39842  ioodvbdlimc1lem1  39909  ioodvbdlimc1lem2  39910  ioodvbdlimc2lem  39912  stoweidlem36  40016  stoweidlem52  40032  dirkertrigeqlem3  40080  fourierdlem24  40111  fourierdlem79  40165  hoiqssbllem2  40600  blennngt2o2  42151
  Copyright terms: Public domain W3C validator