MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divgt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgt0d 10803
Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
divgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
divgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
divgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divgt0d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 divgt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 divgt0d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 divgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 divgt0 10735 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1318 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975   class class class wbr 4572  (class class class)co 6522  cr 9786  0cc0 9787   < clt 9925   / cdiv 10528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529
This theorem is referenced by:  gtndiv  11281  nndivdvds  14768  nnoddm1d2  14881  bitsfzo  14936  sqgcd  15057  qredeu  15151  pythagtriplem19  15317  pcadd  15372  znidomb  19669  tangtx  23973  cosne0  23992  jensenlem2  24426  bposlem6  24726  lgseisenlem1  24812  2sqlem8  24863  omssubadd  29490  knoppndvlem19  31492  knoppndvlem21  31494  itg2addnclem  32429  pellexlem2  36210  sumnnodd  38496  sinaover2ne0  38550  ioodvbdlimc1lem1  38620  ioodvbdlimc1lem2  38621  ioodvbdlimc2lem  38623  stoweidlem36  38728  stoweidlem52  38744  dirkertrigeqlem3  38792  fourierdlem24  38823  fourierdlem79  38877  hoiqssbllem2  39312  blennngt2o2  42181
  Copyright terms: Public domain W3C validator