MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dividd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dividd 10784
Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dividd (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 divid 10699 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   / cdiv 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670
This theorem is referenced by:  nndivtr  11047  divge1  11883  xov1plusxeqvd  12303  quoremz  12637  quoremnn0ALT  12639  intfracq  12641  fldiv  12642  modid0  12679  bcn0  13080  abs1m  14056  georeclim  14584  efaddlem  14804  sqgcd  15259  prmind2  15379  divgcdodd  15403  divnumden  15437  hashgcdlem  15474  pythagtriplem19  15519  pc2dvds  15564  fldivp1  15582  abv1z  18813  dveflem  23723  dvlip  23737  elqaalem2  24056  aareccl  24062  efeq1  24256  eff1olem  24275  eflogeq  24329  tanarg  24346  logcnlem4  24372  cxpaddle  24474  logbid1  24487  isosctrlem3  24531  angpieqvdlem  24536  dcubic2  24552  2efiatan  24626  atantan  24631  birthdaylem2  24660  efrlim  24677  jensenlem2  24695  logdifbnd  24701  logdiflbnd  24702  emcllem2  24704  emcllem3  24705  emcllem5  24707  dmgmdivn0  24735  lgamgulmlem2  24737  lgamgulmlem5  24740  lgamcvg2  24762  lgam1  24771  basellem8  24795  vmalogdivsum2  25208  2vmadivsumlem  25210  selberg4lem1  25230  pntrmax  25234  pntrlog2bndlem2  25248  pntrlog2bndlem5  25251  pntibndlem2  25261  pntlem3  25279  brbtwn2  25766  axsegconlem10  25787  axpaschlem  25801  axcontlem8  25832  cndprobtot  30472  cvmliftlem11  31251  divcnvlin  31593  iprodgam  31603  faclim2  31609  poimirlem32  33412  dvtan  33431  areacirc  33476  irrapxlem5  37209  pellexlem6  37217  pell14qrexpclnn0  37249  reglogbas  37278  imo72b2  38295  binomcxplemrat  38369  divcan8d  39340  mccllem  39629  clim1fr1  39633  coseq0  39838  dvnxpaek  39920  stoweidlem1  39981  stoweidlem11  39991  stoweidlem26  40006  wallispilem5  40049  stirlinglem1  40054  stirlinglem3  40056  stirlinglem4  40057  stirlinglem6  40059  stirlinglem7  40060  stirlinglem10  40063  dirkertrigeqlem3  40080  dirkercncflem1  40083  fourierdlem4  40091  fourierdlem6  40093  fourierdlem26  40113  fourierdlem65  40151  etransclem35  40249  sharhght  40817  cotsqcscsq  42268
  Copyright terms: Public domain W3C validator