MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dividd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dividd 10644
Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dividd (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 divid 10559 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   / cdiv 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530
This theorem is referenced by:  nndivtr  10905  divge1  11726  xov1plusxeqvd  12141  quoremz  12467  quoremnn0ALT  12469  intfracq  12471  fldiv  12472  modid0  12509  bcn0  12910  abs1m  13865  georeclim  14384  efaddlem  14604  sqgcd  15058  prmind2  15178  divgcdodd  15202  divnumden  15236  hashgcdlem  15273  pythagtriplem19  15318  pc2dvds  15363  fldivp1  15381  abv1z  18597  dveflem  23459  dvlip  23473  elqaalem2  23792  aareccl  23798  efeq1  23992  eff1olem  24011  eflogeq  24065  tanarg  24082  logcnlem4  24104  cxpaddle  24206  logbid1  24219  isosctrlem3  24263  angpieqvdlem  24268  dcubic2  24284  2efiatan  24358  atantan  24363  birthdaylem2  24392  efrlim  24409  jensenlem2  24427  logdifbnd  24433  logdiflbnd  24434  emcllem2  24436  emcllem3  24437  emcllem5  24439  dmgmdivn0  24467  lgamgulmlem2  24469  lgamgulmlem5  24472  lgamcvg2  24494  lgam1  24503  basellem8  24527  vmalogdivsum2  24940  2vmadivsumlem  24942  selberg4lem1  24962  pntrmax  24966  pntrlog2bndlem2  24980  pntrlog2bndlem5  24983  pntibndlem2  24993  pntlem3  25011  brbtwn2  25499  axsegconlem10  25520  axpaschlem  25534  axcontlem8  25565  cndprobtot  29627  cvmliftlem11  30333  divcnvlin  30673  iprodgam  30683  faclim2  30689  poimirlem32  32410  dvtan  32429  areacirc  32474  irrapxlem5  36207  pellexlem6  36215  pell14qrexpclnn0  36247  reglogbas  36276  imo72b2  37296  binomcxplemrat  37370  divcan8d  38268  mccllem  38464  clim1fr1  38468  coseq0  38547  dvnxpaek  38632  stoweidlem1  38694  stoweidlem11  38704  stoweidlem26  38719  wallispilem5  38762  stirlinglem1  38767  stirlinglem3  38769  stirlinglem4  38770  stirlinglem6  38772  stirlinglem7  38773  stirlinglem10  38776  dirkertrigeqlem3  38793  dirkercncflem1  38796  fourierdlem4  38804  fourierdlem6  38806  fourierdlem26  38826  fourierdlem65  38864  etransclem35  38962  sharhght  39503  cotsqcscsq  42261
  Copyright terms: Public domain W3C validator