MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dividd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dividd 11402
Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dividd (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 divid 11315 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  nndivtr  11672  divge1  12445  xov1plusxeqvd  12872  quoremz  13211  quoremnn0ALT  13213  intfracq  13215  fldiv  13216  modid0  13253  bcn0  13658  abs1m  14683  georeclim  15216  efaddlem  15434  sqgcd  15897  prmind2  16017  divgcdodd  16042  divnumden  16076  hashgcdlem  16113  pythagtriplem19  16158  pc2dvds  16203  fldivp1  16221  abv1z  19532  dveflem  24503  dvlip  24517  elqaalem2  24836  aareccl  24842  cos02pilt1  25038  efeq1  25040  eff1olem  25059  eflogeq  25112  tanarg  25129  logcnlem4  25155  cxpaddle  25260  logbid1  25273  isosctrlem3  25325  angpieqvdlem  25333  dcubic2  25349  2efiatan  25423  atantan  25428  birthdaylem2  25457  efrlim  25474  jensenlem2  25492  logdifbnd  25498  logdiflbnd  25499  emcllem2  25501  emcllem3  25502  emcllem5  25504  dmgmdivn0  25532  lgamgulmlem2  25534  lgamgulmlem5  25537  lgamcvg2  25559  lgam1  25568  basellem8  25592  vmalogdivsum2  26041  2vmadivsumlem  26043  selberg4lem1  26063  pntrmax  26067  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem5  26084  pntibndlem2  26094  pntlem3  26112  brbtwn2  26618  axsegconlem10  26639  axpaschlem  26653  axcontlem8  26684  cndprobtot  31593  cvmliftlem11  32439  divcnvlin  32861  iprodgam  32871  faclim2  32877  poimirlem32  34805  dvtan  34823  areacirc  34868  expgcd  39061  irrapxlem5  39301  pellexlem6  39309  pell14qrexpclnn0  39341  reglogbas  39370  imo72b2  40403  binomcxplemrat  40559  divcan8d  41455  mccllem  41754  clim1fr1  41758  coseq0  42021  dvnxpaek  42103  stoweidlem1  42163  stoweidlem11  42173  stoweidlem26  42188  wallispilem5  42231  stirlinglem1  42236  stirlinglem3  42238  stirlinglem4  42239  stirlinglem6  42241  stirlinglem7  42242  stirlinglem10  42245  dirkertrigeqlem3  42262  dirkercncflem1  42265  fourierdlem4  42273  fourierdlem6  42275  fourierdlem26  42295  fourierdlem65  42333  etransclem35  42431  sharhght  42999  eenglngeehlnmlem1  44652  eenglngeehlnmlem2  44653  cotsqcscsq  44789
  Copyright terms: Public domain W3C validator