Theorem divmuldivd 11451

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divmuldivd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	3, 4	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divmuldivd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7		divmuldivd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
8	6, 7	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9		divmuldiv 11334	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
10	1, 2, 5, 8, 9	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536   / cdiv 11291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292

This theorem is referenced by:  prodfrec  15245  efcllem  15425  efaddlem  15440  tanaddlem  15513  isprm5  16045  pcpremul  16174  pcqmul  16184  mul4sqlem  16283  dvcnsqrt  25319  mcubic  25419  cubic2  25420  quart1lem  25427  log2tlbnd  25517  basellem5  25656  basellem8  25659  dchrinvcl  25823  dchrmusum2  26064  ttgcontlem1  26665  qqhrhm  31225  faclim2  32975  radcnvrat  40639  bccp1k  40666  dvnprodlem2  42225  wallispilem4  42347  wallispi2lem1  42350  wallispi2lem2  42351  stirlinglem1  42353  stirlinglem3  42355  stirlinglem4  42356  stirlinglem6  42358  stirlinglem10  42362