MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuleqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuleqd 10696
Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divmuleqd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem divmuleqd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 divcld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divmuldivd.5 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
53, 4jca 552 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 divmuldivd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7 divmuldivd.6 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ 0)
86, 7jca 552 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9 divmuleq 10579 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)))
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 1318 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797   / cdiv 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by:  pceulem  15334  lhop1lem  23497  pellexlem6  36219
  Copyright terms: Public domain W3C validator