MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divne1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divne1d 10663
Description: If two complex numbers are unequal, their quotient is not one. Contrapositive of diveq1d 10660. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divne1d.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
divne1d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 1)

Proof of Theorem divne1d
StepHypRef Expression
1 divne1d.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 div1d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 divcld.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divcld.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
52, 3, 4diveq1ad 10661 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = 1 ↔ 𝐴 = 𝐵))
65necon3bid 2825 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ≠ 1 ↔ 𝐴𝐵))
71, 6mpbird 245 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6526  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   / cdiv 10535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536
This theorem is referenced by:  ang180lem5  24287  isosctrlem3  24294  angpieqvdlem  24299
  Copyright terms: Public domain W3C validator