MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrec2d 10790
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divrec2d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divrec2 10687 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1324 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926   / cdiv 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12886  rediv  13852  imdiv  13859  geo2sum  14585  clim2div  14602  efaddlem  14804  sinhval  14865  cvsmuleqdivd  22915  sca2rab  23261  itg2mulclem  23494  itg2mulc  23495  dvmptdivc  23709  dvexp3  23722  dvlip  23737  dvradcnv  24156  tanregt0  24266  logtayl  24387  cxpeq  24479  chordthmlem2  24541  chordthmlem4  24543  heron  24546  dquartlem1  24559  asinlem3  24579  asinsin  24600  efiatan2  24625  atantayl2  24646  amgmlem  24697  basellem8  24795  chebbnd1lem3  25141  dchrmusum2  25164  dchrvmasumlem3  25169  dchrisum0lem1  25186  selberg2lem  25220  logdivbnd  25226  pntrsumo1  25235  pntrlog2bndlem5  25251  pntibndlem2  25261  pntlemr  25272  pntlemo  25277  nmblolbii  27624  blocnilem  27629  nmbdoplbi  28853  nmcoplbi  28857  nmbdfnlbi  28878  nmcfnlbi  28881  logdivsqrle  30702  knoppndvlem7  32484  dvtan  33431  dvasin  33467  areacirclem1  33471  areacirclem4  33474  areaquad  37621  wallispi2lem1  40051  stirlinglem4  40057  stirlinglem5  40058  stirlinglem15  40068  dirkertrigeqlem2  40079  dirkertrigeq  40081  dirkercncflem2  40084  fourierdlem30  40117  fourierdlem57  40143  fourierdlem58  40144  fourierdlem62  40148  fourierdlem95  40181  nn0digval  42159
  Copyright terms: Public domain W3C validator