MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrec2d 10649
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divrec2d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divrec2 10546 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  (class class class)co 6522  cc 9785  0cc0 9787  1c1 9788   · cmul 9792   / cdiv 10528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12715  rediv  13660  imdiv  13667  geo2sum  14384  clim2div  14401  efaddlem  14603  sinhval  14664  cvsmuleqdivd  22666  sca2rab  22999  itg2mulclem  23231  itg2mulc  23232  dvmptdivc  23446  dvexp3  23457  dvlip  23472  dvradcnv  23891  tanregt0  24001  logtayl  24118  cxpeq  24210  chordthmlem2  24272  chordthmlem4  24274  heron  24277  dquartlem1  24290  asinlem3  24310  asinsin  24331  efiatan2  24356  atantayl2  24377  amgmlem  24428  basellem8  24526  chebbnd1lem3  24872  dchrmusum2  24895  dchrvmasumlem3  24900  dchrisum0lem1  24917  selberg2lem  24951  logdivbnd  24957  pntrsumo1  24966  pntrlog2bndlem5  24982  pntibndlem2  24992  pntlemr  25003  pntlemo  25008  nmblolbii  26839  blocnilem  26844  nmbdoplbi  28068  nmcoplbi  28072  nmbdfnlbi  28093  nmcfnlbi  28096  knoppndvlem7  31480  dvtan  32428  dvasin  32464  areacirclem1  32468  areacirclem4  32471  areaquad  36619  wallispi2lem1  38763  stirlinglem4  38769  stirlinglem5  38770  stirlinglem15  38780  dirkertrigeqlem2  38791  dirkertrigeq  38793  dirkercncflem2  38796  fourierdlem30  38829  fourierdlem57  38855  fourierdlem58  38856  fourierdlem62  38860  fourierdlem95  38893  nn0digval  42189
  Copyright terms: Public domain W3C validator