MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrecd 10842
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divrecd (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divrec 10739 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1366 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  prodgt0  10906  ltdiv1  10925  ltrec  10943  lediv12a  10954  expsub  12948  expdiv  12951  rlimdiv  14420  isumdivc  14539  fsumdivc  14562  trirecip  14639  geo2sum  14648  geo2lim  14650  prodfdiv  14672  ege2le3  14864  eftlub  14883  eirrlem  14976  prmreclem4  15670  m1expaddsub  17964  abvdiv  18885  cnsubrg  19854  nmdvr  22521  nmoi2  22581  cphdivcl  23028  ipcau2  23079  divcncf  23262  ovolsca  23329  dvmptdiv  23782  dvsincos  23789  plyeq0lem  24011  plydivlem4  24096  aalioulem4  24135  geolim3  24139  aaliou3lem8  24145  taylthlem2  24173  advlogexp  24446  cxpsub  24473  divcxp  24478  dvcxp1  24526  dvcncxp1  24529  relogbdiv  24562  lawcoslem1  24590  dvatan  24707  leibpi  24714  log2tlbnd  24717  fsumharmonic  24783  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem4  24803  basellem8  24859  chebbnd1  25206  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrmusumlema  25227  dchrisum0lema  25248  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  dchrisum0lem2  25252  dchrmusumlem  25256  mulogsumlem  25265  mulogsum  25266  logdivsum  25267  mulog2sumlem1  25268  vmalogdivsum2  25272  2vmadivsumlem  25274  log2sumbnd  25278  logdivbnd  25290  selberg4lem1  25294  selberg34r  25305  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem6  25317  pntpbnd2  25321  smcnlem  27680  ipasslem5  27818  omssubadd  30490  logdivsqrle  30856  knoppndvlem14  32641  dvtan  33590  areacirclem1  33630  areacirclem4  33633  irrapxlem5  37707  pell14qrdivcl  37746  hashnzfzclim  38838  binomcxplemnotnn0  38872  ltdiv23neg  39930  climdivf  40162  divlimc  40206  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnxpaek  40475  stoweidlem36  40571  wallispi  40605  stirlinglem7  40615  dirkercncflem2  40639  dirkercncflem4  40641  fourierdlem39  40681  fourierdlem40  40682  fourierdlem56  40697  fourierdlem62  40703  fourierdlem78  40719  fourierdlem83  40724  fourierdlem95  40736  smfdiv  41325  dignn0flhalflem1  42734  amgmlemALT  42877  young2d  42879
  Copyright terms: Public domain W3C validator