Theorem divrecd 11413

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292

This theorem is referenced by:  prodgt0  11481  ltdiv1  11498  ltrec  11516  lediv12a  11527  expsub  13471  expdiv  13474  rlimdiv  14996  isumdivc  15113  fsumdivc  15135  trirecip  15212  geo2sum  15223  geo2lim  15225  prodfdiv  15246  ege2le3  15437  eftlub  15456  eirrlem  15551  prmreclem4  16249  m1expaddsub  18620  abvdiv  19602  cnsubrg  20599  nmdvr  23273  nmoi2  23333  cphdivcl  23780  ipcau2  23831  divcncf  24042  ovolsca  24110  dvmptdiv  24565  dvsincos  24572  plyeq0lem  24794  plydivlem4  24879  aalioulem4  24918  geolim3  24922  aaliou3lem8  24928  taylthlem2  24956  advlogexp  25232  cxpsub  25259  divcxp  25264  dvcxp1  25315  dvcncxp1  25318  relogbdiv  25351  lawcoslem1  25387  dvatan  25507  leibpi  25514  log2tlbnd  25517  fsumharmonic  25583  lgamgulmlem2  25601  lgamgulmlem3  25602  lgamgulmlem4  25603  basellem8  25659  chebbnd1  26042  rplogsumlem2  26055  rpvmasumlem  26057  dchrmusumlema  26063  dchrisum0lema  26084  dchrisum0lem1  26086  dchrisum0lem2a  26087  dchrisum0lem2  26088  dchrmusumlem  26092  mulogsumlem  26101  mulogsum  26102  logdivsum  26103  mulog2sumlem1  26104  vmalogdivsum2  26108  2vmadivsumlem  26110  log2sumbnd  26114  logdivbnd  26126  selberg4lem1  26130  selberg34r  26141  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem4  26150  pntrlog2bndlem6  26153  pntpbnd2  26157  smcnlem  28468  ipasslem5  28606  omssubadd  31553  logdivsqrle  31916  knoppndvlem14  33859  dvtan  34936  areacirclem1  34976  areacirclem4  34979  irrapxlem5  39416  pell14qrdivcl  39455  hashnzfzclim  40647  binomcxplemnotnn0  40681  ltdiv23neg  41659  climdivf  41886  divlimc  41930  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  dvnxpaek  42220  stoweidlem36  42315  wallispi  42349  stirlinglem7  42359  dirkercncflem2  42383  dirkercncflem4  42385  fourierdlem39  42425  fourierdlem40  42426  fourierdlem56  42441  fourierdlem62  42447  fourierdlem78  42463  fourierdlem83  42468  fourierdlem95  42480  smfdiv  43066  dignn0flhalflem1  44669  amgmlemALT  44898  young2d  44900