MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdird 11443
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divsubdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divsubdir 11322 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1366 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  cmin 10858   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12872  discr  13589  crre  14461  reccn2  14941  iseralt  15029  trireciplem  15205  geolim  15214  geolim2  15215  georeclim  15216  bpolydiflem  15396  bitsinv1lem  15778  fldivp1  16221  mul4sqlem  16277  lebnumii  23497  dyadovol  24121  mbfi1fseqlem6  24248  dvmptdiv  24498  dveflem  24503  dvsincos  24505  dvlip  24517  ulmdvlem1  24915  efeq1  25040  tanarg  25129  logcnlem4  25155  ang180lem1  25314  angpieqvdlem  25333  chordthmlem2  25338  chordthmlem4  25340  dcubic1lem  25348  dcubic2  25349  mcubic  25352  cubic2  25353  dquartlem1  25356  dquartlem2  25357  dquart  25358  2efiatan  25423  tanatan  25424  atantan  25428  dvatan  25440  atantayl  25442  atantayl2  25443  birthdaylem2  25457  jensenlem2  25492  logdiflbnd  25499  emcllem2  25501  lgamgulmlem2  25534  basellem8  25592  lgseisenlem1  25878  lgsquadlem2  25884  vmalogdivsum2  26041  vmalogdivsum  26042  2vmadivsumlem  26043  selberg3lem1  26060  selberg4lem1  26063  selberg4  26064  pntrmax  26067  pntrsumo1  26068  selberg3r  26072  selberg4r  26073  selberg34r  26074  pntrlog2bndlem4  26083  pntpbnd2  26090  pntibndlem2  26094  pntlemo  26110  pntlem3  26112  brbtwn2  26618  axsegconlem9  26638  axsegconlem10  26639  axpaschlem  26653  axcontlem8  26684  dya2icoseg  31434  itg2addnclem  34824  pellexlem2  39305  pellexlem6  39309  areaquad  39701  hashnzfzclim  40531  binomcxplemrat  40559  oddfl  41419  sumnnodd  41787  itgcoscmulx  42130  itgsincmulx  42135  stirlinglem1  42236  stirlinglem6  42241  dirkercncflem1  42265  fourierdlem26  42295  fourierdlem30  42299  fourierdlem65  42333  quad1  43662  requad1  43664  1subrec1sub  44620  eenglngeehlnmlem1  44652  eenglngeehlnmlem2  44653  itscnhlc0xyqsol  44680
  Copyright terms: Public domain W3C validator