MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdird 10689
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divsubdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divsubdir 10570 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1321 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  cmin 10117   / cdiv 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12145  discr  12818  crre  13648  reccn2  14121  iseralt  14209  trireciplem  14379  geolim  14386  geolim2  14387  georeclim  14388  bpolydiflem  14570  bitsinv1lem  14947  fldivp1  15385  mul4sqlem  15441  lebnumii  22504  dyadovol  23084  mbfi1fseqlem6  23210  dveflem  23463  dvsincos  23465  dvlip  23477  ulmdvlem1  23875  efeq1  23996  tanarg  24086  logcnlem4  24108  ang180lem1  24256  angpieqvdlem  24272  chordthmlem2  24277  chordthmlem4  24279  dcubic1lem  24287  dcubic2  24288  mcubic  24291  cubic2  24292  dquartlem1  24295  dquartlem2  24296  dquart  24297  2efiatan  24362  tanatan  24363  atantan  24367  dvatan  24379  atantayl  24381  atantayl2  24382  birthdaylem2  24396  jensenlem2  24431  logdiflbnd  24438  emcllem2  24440  lgamgulmlem2  24473  basellem8  24531  lgseisenlem1  24817  lgsquadlem2  24823  vmalogdivsum2  24944  vmalogdivsum  24945  2vmadivsumlem  24946  selberg3lem1  24963  selberg4lem1  24966  selberg4  24967  pntrmax  24970  pntrsumo1  24971  selberg3r  24975  selberg4r  24976  selberg34r  24977  pntrlog2bndlem4  24986  pntpbnd2  24993  pntibndlem2  24997  pntlemo  25013  pntlem3  25015  brbtwn2  25503  axsegconlem9  25523  axsegconlem10  25524  axpaschlem  25538  axcontlem8  25569  dya2icoseg  29472  itg2addnclem  32427  pellexlem2  36208  pellexlem6  36212  areaquad  36617  hashnzfzclim  37339  binomcxplemrat  37367  oddfl  38226  sumnnodd  38494  dvmptdiv  38604  itgcoscmulx  38658  itgsincmulx  38663  stirlinglem1  38764  stirlinglem6  38769  dirkercncflem1  38793  fourierdlem26  38823  fourierdlem30  38827  fourierdlem65  38861
  Copyright terms: Public domain W3C validator