Theorem dlatjmdi 17801

Description: In a distributive lattice, joins distribute over meets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dlatjmdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dlatjmdi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dlatjmdi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dlatjmdi	⊢ ((𝐾 ∈ DLat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem dlatjmdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
2	1	odudlatb 17800	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DLat → (𝐾 ∈ DLat ↔ (ODual‘𝐾) ∈ DLat))
3	2	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DLat → (ODual‘𝐾) ∈ DLat)
4		dlatjmdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5	1, 4	odubas 17737	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
6		dlatjmdi.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	1, 6	odujoin 17746	. . 3 ⊢ ∧ = (join‘(ODual‘𝐾))
8		dlatjmdi.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9	1, 8	odumeet 17744	. . 3 ⊢ ∨ = (meet‘(ODual‘𝐾))
10	5, 7, 9	dlatmjdi 17798	. 2 ⊢ (((ODual‘𝐾) ∈ DLat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
11	3, 10	sylan 582	1 ⊢ ((𝐾 ∈ DLat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  joincjn 17548  meetcmee 17549  ODualcodu 17732  DLatcdlat 17795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-dec 12093  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ple 16579  df-proset 17532  df-poset 17550  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-lat 17650  df-odu 17733  df-dlat 17796

This theorem is referenced by: (None)