Theorem dmaddsr 9665

Description: Domain of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmaddsr	⊢ dom +R = (R × R)

Proof of Theorem dmaddsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plr 9638	. . . 4 ⊢ +R = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R ∧ 𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨(𝑤 +P 𝑢), (𝑣 +P 𝑓)⟩] ~R ))}
2	1	dmeqi 5138	. . 3 ⊢ dom +R = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R ∧ 𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨(𝑤 +P 𝑢), (𝑣 +P 𝑓)⟩] ~R ))}
3		dmoprabss 6522	. . 3 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R ∧ 𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨(𝑤 +P 𝑢), (𝑣 +P 𝑓)⟩] ~R ))} ⊆ (R × R)
4	2, 3	eqsstri 3502	. 2 ⊢ dom +R ⊆ (R × R)
5		0nsr 9659	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
6		addclsr 9663	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
7	5, 6	oprssdm 6594	. 2 ⊢ (R × R) ⊆ dom +R
8	4, 7	eqssi 3488	1 ⊢ dom +R = (R × R)

Syntax hints:   ∧ wa 382   = wceq 1474  ∃wex 1694   ∈ wcel 1938  ⟨cop 4034   × cxp 4930  dom cdm 4932  (class class class)co 6431  {coprab 6432  [cec 7507   +_P cpp 9442   ~_R cer 9445  Rcnr 9446   +_R cplr 9450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-inf2 8301

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-om 6839  df-1st 6939  df-2nd 6940  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-1o 7327  df-oadd 7331  df-omul 7332  df-er 7509  df-ec 7511  df-qs 7515  df-ni 9453  df-pli 9454  df-mi 9455  df-lti 9456  df-plpq 9489  df-mpq 9490  df-ltpq 9491  df-enq 9492  df-nq 9493  df-erq 9494  df-plq 9495  df-mq 9496  df-1nq 9497  df-rq 9498  df-ltnq 9499  df-np 9562  df-plp 9564  df-ltp 9566  df-enr 9636  df-nr 9637  df-plr 9638

This theorem is referenced by:  addcomsr  9667  addasssr  9668  distrsr  9671  ltasr  9680