Theorem dmatmul 21100

Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatmul	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmatmul

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	1, 2	matmulr 21041	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
4	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
5	4	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
6	5	oveqd 7167	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2821	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
11		dmatid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
12		dmatid.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		dmatid.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
14	1, 11, 12, 13	dmatmat 21097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ 𝐵))
15	14	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	1, 7, 11	matbas2i 21025	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18	17	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
19	1, 11, 12, 13	dmatmat 21097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ 𝐵))
20	19	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	1, 7, 11	matbas2i 21025	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23	22	adantrl 714	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
24	2, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 23	mamuval 20991	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))))))
25		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26		ringcmn 19325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
27	26	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ CMnd)
28	27	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
29	28	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	10	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
31	30	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
32		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))
33		ovexd 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) ∈ V)
34		fvexd 6679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
35	32, 31, 33, 34	fsuppmptdm 8838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))) finSupp (0g‘𝑅))
36	9	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simp2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
39	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
40		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
41		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
42	1, 41, 12, 13	dmatmat 21097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
43	42	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
44	43	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
45	44	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
46	45	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
47	1, 7	matecl 21028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
48	39, 40, 46, 47	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
49		simplr3 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
50	1, 41, 12, 13	dmatmat 21097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴)))
51	50	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
52	51	adantrl 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
53	52	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
54	53	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
55	1, 7	matecl 21028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
56	40, 49, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
57	7, 8	ringcl 19305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑘𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
58	37, 48, 56, 57	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
59	38	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑁)
60		simp3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
61	15	adantrr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
62	61, 11	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
63	62	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
64	1, 7	matecl 21028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
65	38, 60, 63, 64	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
66	50	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))))
67	66	imp32 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
68	67	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
69	1, 7	matecl 21028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
70	38, 60, 68, 69	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
71	7, 8	ringcl 19305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
72	36, 65, 70, 71	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
73	72	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
74		eqtr 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑘 = 𝑦)
75	74	ancoms 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑦)
76	75	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑥𝑋𝑘) = (𝑥𝑋𝑦))
77	76	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑥𝑋𝑘) = (𝑥𝑋𝑦))
78		oveq1 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑌𝑦) = (𝑥𝑌𝑦))
79	78	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑘𝑌𝑦) = (𝑥𝑌𝑦))
80	77, 79	oveq12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)))
81	7, 25, 29, 31, 35, 58, 59, 73, 80	gsumdifsnd 19075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))))(+g‘𝑅)((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦))))
82		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
83	10, 9, 82	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
84	83	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
85	84	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
86	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑁)
87		eldifi 4102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
88	87	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝑁)
89		eldifsni 4715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) → 𝑘 ≠ 𝑥)
90	89	necomd 3071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) → 𝑥 ≠ 𝑘)
91	90	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ≠ 𝑘)
92	1, 11, 12, 13	dmatelnd 21099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝑘)) → (𝑥𝑋𝑘) = 0 )
93	85, 86, 88, 91, 92	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → (𝑥𝑋𝑘) = 0 )
94	93	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))
95	36	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → 𝑅 ∈ Ring)
96		simplr3 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ 𝑁)
97	53	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
98	88, 96, 97, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → (𝑘𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
99	7, 8, 12	ringlz 19331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
100	95, 98, 99	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
101	94, 100	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥})) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
102	101	mpteq2dva 5153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))) = (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ 0 ))
103	102	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ 0 )))
104		diffi 8744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
105		ringmnd 19300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
106	104, 105	anim12ci 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∖ {𝑥}) ∈ Fin))
107	106	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∖ {𝑥}) ∈ Fin))
108	107	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∖ {𝑥}) ∈ Fin))
109	108	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∖ {𝑥}) ∈ Fin))
110	12	gsumz 17994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ 0 )) = 0 )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ 0 )) = 0 )
112	103, 111	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = 0 )
113	112	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑥}) ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))))(+g‘𝑅)((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦))) = ( 0 (+g‘𝑅)((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦))))
114	105	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ Mnd)
115	114	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
116	38, 60, 53, 69	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
117	36, 65, 116, 71	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
118	115, 117	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)))
119	118	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)))
120	7, 25, 12	mndlid 17925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦))) = ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)))
121	119, 120	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → ( 0 (+g‘𝑅)((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦))) = ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)))
122	81, 113, 121	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)))
123		iftrue 4472	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)))
124	123	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)))
125	122, 124	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))
126		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
127	10, 9, 126	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
128	127	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
129	128	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
130	129	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
131		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
132		simplr3 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
133	132	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝑁)
134		df-ne 3017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
135		neeq1 3078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑘 ≠ 𝑦))
136	135	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥 = 𝑘 → 𝑘 ≠ 𝑦))
137	134, 136	sylbir 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑘 → 𝑘 ≠ 𝑦))
138	137	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑥 = 𝑘 → 𝑘 ≠ 𝑦))
139	138	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑥 = 𝑘 → 𝑘 ≠ 𝑦))
140	139	impcom 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ≠ 𝑦)
141	1, 11, 12, 13	dmatelnd 21099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ≠ 𝑦)) → (𝑘𝑌𝑦) = 0 )
142	130, 131, 133, 140, 141	syl13anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑘𝑌𝑦) = 0 )
143	142	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ))
144	36	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
145	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
146		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
147	63	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
148	145, 146, 147, 47	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
149	7, 8, 12	ringrz 19332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
150	144, 148, 149	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
151	150	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
152	143, 151	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
153	84	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
154	153	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
155	145	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑁)
156		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
157		neqne 3024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑘 → 𝑥 ≠ 𝑘)
158	157	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ≠ 𝑘)
159	154, 155, 156, 158, 92	syl13anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑥𝑋𝑘) = 0 )
160	159	oveq1d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))
161	68	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
162	146, 132, 161, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
163	144, 162, 99	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
164	163	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
165	160, 164	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑘 ∧ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
166	152, 165	pm2.61ian 810	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)) = 0 )
167	166	mpteq2dva 5153	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
168	167	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 )))
169	105	anim2i 618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
170	169	ancomd 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin))
171	12	gsumz 17994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
173	172	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
174	173	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
175	174	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
176		iffalse 4475	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = 0 )
177	176	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → 0 = if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))
178	177	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 0 = if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))
179	168, 175, 178	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))
180	125, 179	pm2.61ian 810	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦)))) = if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))
181	180	mpoeq3dva 7225	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑥𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑦))))) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
182	6, 24, 181	3eqtrd 2860	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932  ifcif 4466  {csn 4560  ⟨cotp 4568   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  Mndcmnd 17905  CMndccmn 18900  Ringcrg 19291   maMul cmmul 20988   Mat cmat 21010   DMat cdmat 21091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-dmat 21093

This theorem is referenced by:  dmatmulcl  21103  dmatcrng  21105  scmatscmiddistr  21111  scmatcrng  21124