MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatsubcl 20223
Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatsubcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matgrp 20155 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
32adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝐴 ∈ Grp)
4 dmatid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 dmatid.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
6 dmatid.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 4, 5, 6dmatmat 20219 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝐷𝑋𝐵))
87imp 445 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝐷) → 𝑋𝐵)
98adantrr 752 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑋𝐵)
101, 4, 5, 6dmatmat 20219 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝐷𝑌𝐵))
1110imp 445 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐷) → 𝑌𝐵)
1211adantrl 751 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑌𝐵)
13 eqid 2621 . . . 4 (-g𝐴) = (-g𝐴)
144, 13grpsubcl 17416 . . 3 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
153, 9, 12, 14syl3anc 1323 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
197, 10anim12d 585 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝐵𝑌𝐵)))
2019imp 445 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
23 eqid 2621 . . . . . . . 8 (-g𝑅) = (-g𝑅)
241, 4, 13, 23matsubgcell 20159 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
2518, 21, 22, 24syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
2625adantr 481 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
27 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
28 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑋𝐷)
2927, 17, 283jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷))
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷))
3130adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷))
32 simplrl 799 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑁)
33 simplrr 800 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑁)
34 simpr 477 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑗)
351, 4, 5, 6dmatelnd 20221 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐷) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁𝑖𝑗)) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
3631, 32, 33, 34, 35syl13anc 1325 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
37 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑌𝐷)
3827, 17, 373jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷))
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷))
4039adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷))
411, 4, 5, 6dmatelnd 20221 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐷) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁𝑖𝑗)) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
4240, 32, 33, 34, 41syl13anc 1325 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
4336, 42oveq12d 6622 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑖𝑋𝑗)(-g𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) = ( 0 (-g𝑅) 0 ))
44 ringgrp 18473 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
45 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4645, 5ring0cl 18490 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4744, 46jca 554 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
4847adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
4945, 5, 23grpsubid 17420 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (-g𝑅) 0 ) = 0 )
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 (-g𝑅) 0 ) = 0 )
5150ad3antrrr 765 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → ( 0 (-g𝑅) 0 ) = 0 )
5226, 43, 513eqtrd 2659 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 )
5352ex 450 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
5453ralrimivva 2965 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
551, 4, 5, 6dmatel 20218 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
5655adantr 481 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑋(-g𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
5715, 54, 56mpbir2and 956 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  Ringcrg 18468   Mat cmat 20132   DMat cdmat 20213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mat 20133  df-dmat 20215
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  20224
  Copyright terms: Public domain W3C validator