HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdmd 29026
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3610 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)))
32ineq1d 3796 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4 oveq1 6617 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
53, 4eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
61, 5imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
76rspccv 3295 . . . . 5 (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8 choccl 28032 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
98imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
109com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
1110adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12 chsscon3 28226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1312biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1413adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16 choccl 28032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
17 chjcl 28083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
188, 16, 17syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C𝐴C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
19 chdmm3 28253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
2018, 19sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
21 chdmj4 28258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2322oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2420, 23eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2524anasss 678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
26 choccl 28032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
27 chincl 28225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
2816, 26, 27syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
29 chdmj2 28256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
3028, 29sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31 chdmm4 28254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3332ineq2d 3797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3430, 33eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3525, 34eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3635ancoms 469 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3715, 36syl5ib 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3814, 37imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
3911, 38syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
4039ex 450 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4140com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
427, 41syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4342ralrimdv 2963 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
44 sseq2 3611 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵𝑥𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45 ineq1 3790 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
4645oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
47 ineq1 3790 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))
4846, 47eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
4944, 48imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5049rspccv 3295 . . . . 5 (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
51 choccl 28032 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
5251imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5453adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
55 chsscon2 28228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑦C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
5655biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
5756adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
59 chincl 28225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑦) ∈ C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
6051, 59sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
61 chdmj1 28255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6260, 61sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63 chdmm2 28252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6564ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6662, 65eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6766anasss 678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68 chjcl 28083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
69 chdmm2 28252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
7068, 69sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
71 chdmj1 28255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7372oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7470, 73eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7567, 74eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7675ancoms 469 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7758, 76syl5ib 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7857, 77imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7954, 78syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8079ex 450 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8180com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8250, 81syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8382ralrimdv 2963 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8443, 83impbid 202 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
85 mdbr 29020 . . 3 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8616, 26, 85syl2an 494 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87 dmdbr 29025 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
8884, 86, 873bitr4rd 301 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cin 3558  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610   C cch 27653  cort 27654   chj 27657   𝑀 cmd 27690   𝑀* cdmd 27691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cc 9208  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hv0cl 27727  ax-hvaddid 27728  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulid 27730  ax-hvmulass 27731  ax-hvdistr1 27732  ax-hvdistr2 27733  ax-hvmul0 27734  ax-hfi 27803  ax-his1 27806  ax-his2 27807  ax-his3 27808  ax-his4 27809  ax-hcompl 27926
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-lm 20952  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cfil 22972  df-cau 22973  df-cmet 22974  df-grpo 27214  df-gid 27215  df-ginv 27216  df-gdiv 27217  df-ablo 27266  df-vc 27281  df-nv 27314  df-va 27317  df-ba 27318  df-sm 27319  df-0v 27320  df-vs 27321  df-nmcv 27322  df-ims 27323  df-dip 27423  df-ssp 27444  df-ph 27535  df-cbn 27586  df-hnorm 27692  df-hba 27693  df-hvsub 27695  df-hlim 27696  df-hcau 27697  df-sh 27931  df-ch 27945  df-oc 27976  df-ch0 27977  df-shs 28034  df-chj 28036  df-md 29006  df-dmd 29007
This theorem is referenced by:  mddmd  29027  ssdmd1  29039  mdsldmd1i  29057  cvdmd  29063  dmdsym  29139  cmdmdi  29143
  Copyright terms: Public domain W3C validator