MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdd 19050
Description: Show that a given family is a direct product decomposition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprd.0 0 = (0g𝐺)
dmdprd.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
dmdprdd.2 (𝜑𝐼𝑉)
dmdprdd.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dmdprdd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
dmdprdd.5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdd (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmdprdd
StepHypRef Expression
1 dmdprdd.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 dmdprdd.3 . 2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3 eldifsn 4711 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐼𝑦𝑥))
4 necom 3066 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
54anbi2i 622 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑦𝑥) ↔ (𝑦𝐼𝑥𝑦))
63, 5bitri 276 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐼𝑥𝑦))
7 dmdprdd.4 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
873exp2 1346 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
98imp4b 422 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼𝑥𝑦) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))
106, 9syl5bi 243 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))
1110ralrimiv 3178 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
12 dmdprdd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
132ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 dmdprd.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
1514subg0cl 18225 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑥))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑥))
171adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1918subgacs 18251 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
20 acsmre 16911 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
2117, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
22 imassrn 5933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑆
232frnd 6514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2522, 24sstrid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26 mresspw 16851 . . . . . . . . . . . 12 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
2825, 27sstrd 3974 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
29 sspwuni 5013 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
3028, 29sylib 219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
31 dmdprd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
3231mrccl 16870 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3321, 30, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3414subg0cl 18225 . . . . . . . 8 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
3616, 35elind 4168 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3736snssd 4734 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → { 0 } ⊆ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3812, 37eqssd 3981 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
3911, 38jca 512 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
4039ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))
41 dmdprdd.2 . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
422fdmd 6516 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43 dmdprd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4443, 14, 31dmdprd 19049 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
4541, 42, 44syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 }))))
461, 2, 40, 45mpbir3and 1334 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842  ACScacs 16844  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  dprdss  19080  dprdz  19081  dprdf1o  19083  dprdsn  19087  dprd2da  19093  dmdprdsplit2  19097  ablfac1b  19121
  Copyright terms: Public domain W3C validator