Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdpr 18369
 Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4750 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 dprdsn 18356 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
41, 2, 3sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
54simpld 475 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 xpscf 16147 . . . . . . . 8 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
82, 6, 7sylanbrc 697 . . . . . . 7 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ffn 6002 . . . . . . 7 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) → ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
111prid1 4267 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
12 df2o3 7518 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1311, 12eleqtrri 2697 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
14 fnressn 6379 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
1510, 13, 14sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
16 xpsc0 16141 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
172, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
1817opeq2d 4377 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
1918sneqd 4160 . . . . 5 (𝜑 → {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
2015, 19eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
215, 20breqtrrd 4641 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}))
22 1on 7512 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
23 dprdsn 18356 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2422, 6, 23sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2524simpld 475 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
2622elexi 3199 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
2726prid2 4268 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
2827, 12eleqtrri 2697 . . . . . 6 1𝑜 ∈ 2𝑜
29 fnressn 6379 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
3010, 28, 29sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
31 xpsc1 16142 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
326, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
3332opeq2d 4377 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
3433sneqd 4160 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3530, 34eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3625, 35breqtrrd 4641 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))
37 1n0 7520 . . . . . . . . 9 1𝑜 ≠ ∅
3837necomi 2844 . . . . . . . 8 ∅ ≠ 1𝑜
39 disjsn2 4217 . . . . . . . 8 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
41 df-pr 4151 . . . . . . . . 9 {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
4212, 41eqtri 2643 . . . . . . . 8 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 18367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
47 3anass 1040 . . . . . 6 (((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
4846, 47syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
4948baibd 947 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5049ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
5121, 36, 50mp2and 714 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5220oveq2d 6620 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
534simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
5452, 53eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
5535oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
5624simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5755, 56eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
5857fveq2d 6152 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑍𝑇))
5954, 58sseq12d 3613 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
6054, 57ineq12d 3793 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆𝑇))
6160eqeq1d 2623 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 } ↔ (𝑆𝑇) = { 0 }))
6259, 61anbi12d 746 . 2 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
6351, 62bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {csn 4148  {cpr 4150  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  ◡ccnv 5073  dom cdm 5074   ↾ cres 5076  Oncon0 5682   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499   +𝑐 ccda 8933  0gc0g 16021  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669   DProd cdprd 18313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-dprd 18315 This theorem is referenced by:  dprdpr  18370
 Copyright terms: Public domain W3C validator