Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2 18377
 Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dmdprdsplit2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplit.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
2 dmdprdsplit.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2621 . 2 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dmdprdsplit2.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
5 dprdgrp 18336 . . 3 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdsplit.u . . 3 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
8 dprdsplit.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 3759 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 7syl5sseqr 3638 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6033 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
12 fdm 6013 . . . . . 6 ((𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
144, 13dprddomcld 18332 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
15 dmdprdsplit2.2 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
16 ssun2 3760 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1716, 7syl5sseqr 3638 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐼)
188, 17fssresd 6033 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
19 fdm 6013 . . . . . 6 ((𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
2115, 20dprddomcld 18332 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
22 unexg 6919 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐶𝐷) ∈ V)
2314, 21, 22syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ V)
247, 23eqeltrd 2698 . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
257eleq2d 2684 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (𝐶𝐷)))
26 elun 3736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
2725, 26syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷)))
28 dprdsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
29 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
30 dmdprdsplit2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
318, 28, 7, 1, 2, 4, 15, 29, 30, 3dmdprdsplit2lem 18376 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
32 incom 3788 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
3332, 28syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐶) = ∅)
34 uncom 3740 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
357, 34syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐷𝐶))
36 dprdsubg 18355 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
374, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
38 dprdsubg 18355 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3915, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
401, 37, 39, 29cntzrecd 18023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
41 incom 3788 . . . . . . . . 9 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
4241, 30syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) = { 0 })
438, 33, 35, 1, 2, 15, 4, 40, 42, 3dmdprdsplit2lem 18376 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
4431, 43jaodan 825 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
4544simpld 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))))
4645ex 450 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝑥𝐷) → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
4727, 46sylbid 230 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
48473imp2 1279 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
4927biimpa 501 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐶𝑥𝐷))
5031simprd 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5143simprd 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5250, 51jaodan 825 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5349, 52syldan 487 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
541, 2, 3, 6, 24, 8, 48, 53dmdprdd 18330 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556   ∪ cun 3557   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  {csn 4153  ∪ cuni 4407   class class class wbr 4618  dom cdm 5079   ↾ cres 5081   “ cima 5082  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0gc0g 16032  mrClscmrc 16175  Grpcgrp 17354  SubGrpcsubg 17520  Cntzccntz 17680   DProd cdprd 18324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-cntz 17682  df-oppg 17708  df-lsm 17983  df-cmn 18127  df-dprd 18326 This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  18378  pgpfaclem1  18412
 Copyright terms: Public domain W3C validator