MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2lem 18365
Description: Lemma for dmdprdsplit 18367. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
dmdprdsplit2lem.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
32eleq2d 2684 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼𝑌 ∈ (𝐶𝐷)))
4 elun 3731 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷))
53, 4syl6bb 276 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷)))
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
76ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 3754 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 1syl5sseqr 3633 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
12 fdm 6008 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1413ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
15 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
16 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑌𝐶)
17 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
18 dmdprdsplit.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
197, 14, 15, 16, 17, 18dprdcntz 18328 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)))
20 fvres 6164 . . . . . . 7 (𝑋𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
2120ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
22 fvres 6164 . . . . . . . 8 (𝑌𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2322ad2antrl 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2423fveq2d 6152 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2519, 21, 243sstr3d 3626 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2625exp32 630 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐶 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
2720ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
286ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
2913ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
30 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
3128, 29, 30dprdub 18345 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3227, 31eqsstr3d 3619 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
33 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
3433ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
35 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3635dprdssv 18336 . . . . . . . 8 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
37 fvres 6164 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
3837ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
39 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
4039ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
41 ssun2 3755 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4241, 1syl5sseqr 3633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝐼)
438, 42fssresd 6028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
44 fdm 6008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4645ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
47 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
4840, 46, 47dprdub 18345 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
4938, 48eqsstr3d 3619 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5035, 18cntz2ss 17686 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5136, 49, 50sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5234, 51sstrd 3593 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5332, 52sstrd 3593 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5453exp32 630 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐷 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
5526, 54jaod 395 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐶𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
565, 55sylbid 230 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
57 dprdgrp 18325 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
586, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
6035subgacs 17550 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
61 acsmre 16234 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
6259, 60, 613syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
63 difundir 3856 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋}))
642difeq1d 3705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}))
65 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
6665snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → {𝑋} ⊆ 𝐶)
67 sslin 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑋} ⊆ 𝐶 → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
69 incom 3783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
70 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐶𝐷) = ∅)
7269, 71syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷𝐶) = ∅)
73 sseq0 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶) ∧ (𝐷𝐶) = ∅) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
7468, 72, 73syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
75 disj3 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7674, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7776uneq2d 3745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋})))
7863, 64, 773eqtr4a 2681 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷))
7978imaeq2d 5425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)))
80 imaundi 5504 . . . . . . . . 9 (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
8179, 80syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
8281unieqd 4412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
83 uniun 4422 . . . . . . 7 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
8482, 83syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
85 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
86 difss 3715 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶
87 imass2 5460 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
88 uniss 4424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶)
90 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) ⊆ ran 𝑆
91 frn 6010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
928, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
94 mresspw 16173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9562, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9693, 95sstrd 3593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9790, 96syl5ss 3594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
98 sspwuni 4577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
9997, 98sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
10089, 99syl5ss 3594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺))
10162, 85, 100mrcssidd 16206 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
102 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) ⊆ ran 𝑆
103102, 96syl5ss 3594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
104 sspwuni 4577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
105103, 104sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
10662, 85, 105mrcssidd 16206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐷)))
10785dprdspan 18347 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
10839, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
109 df-ima 5087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
110109unieqi 4411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
111110fveq2i 6151 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷))
112108, 111syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
113112adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
114106, 113sseqtr4d 3621 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
115 unss12 3763 . . . . . . . 8 (( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
116101, 114, 115syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
11785mrccl 16192 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11862, 100, 117syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
119 dprdsubg 18344 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12039, 119syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
121120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
122 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
123122lsmunss 17994 . . . . . . . 8 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
124118, 121, 123syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
125116, 124sstrd 3593 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12684, 125eqsstrd 3618 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12789a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
12862, 85, 127, 99mrcssd 16205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐶)))
12985dprdspan 18347 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
1306, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
131 df-ima 5087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
132131unieqi 4411 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
133132fveq2i 6151 . . . . . . . . . 10 (𝐾 (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶))
134130, 133syl6eqr 2673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
135134adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
136128, 135sseqtr4d 3621 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
13733adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
138136, 137sstrd 3593 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
139122, 18lsmsubg 17990 . . . . . 6 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
140118, 121, 138, 139syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14185mrcsscl 16201 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
14262, 126, 140, 141syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
143 sslin 3817 . . . 4 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
144142, 143syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
14510sselda 3583 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐼)
1468ffvelrnda 6315 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐼) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
147145, 146syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
148 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
14920adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
1506adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
15113adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
152150, 151, 65dprdub 18345 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
153149, 152eqsstr3d 3619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
154 dprdsubg 18344 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1556, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
156155adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
157122lsmlub 17999 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
158147, 118, 156, 157syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
159153, 136, 158mpbi2and 955 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
160 ssrin 3816 . . . . . . 7 (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
161159, 160syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
162 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
163162adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
164161, 163sseqtrd 3620 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ { 0 })
165122lsmub1 17992 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
166147, 118, 165syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
167148subg0cl 17523 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
168147, 167syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
169166, 168sseldd 3584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
170148subg0cl 17523 . . . . . . . 8 ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
171121, 170syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
172169, 171elind 3776 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
173172snssd 4309 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → { 0 } ⊆ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
174164, 173eqssd 3600 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
175 resima2 5391 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
17686, 175mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
177176unieqd 4412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
178177fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) = (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
179149, 178ineq12d 3793 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
180150, 151, 65, 148, 85dprddisj 18329 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
181179, 180eqtr3d 2657 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
1828adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
183 ffun 6005 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
184 funiunfv 6460 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
185182, 183, 1843syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
1866ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
18713ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
188 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝐶)
189188adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝐶)
190 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑋𝐶)
191 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝑋)
192191adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝑋)
193186, 187, 189, 190, 192, 18dprdcntz 18328 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)))
194 fvres 6164 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
195189, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
19620ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
197196fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)) = (𝑍‘(𝑆𝑋)))
198193, 195, 1973sstr3d 3626 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
199198ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
200 iunss 4527 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
201199, 200sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
202185, 201eqsstr3d 3619 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20335subgss 17516 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
204147, 203syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
20535, 18cntzsubg 17690 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20659, 204, 205syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20785mrcsscl 16201 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∧ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20862, 202, 206, 207syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20918, 118, 147, 208cntzrecd 18012 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
210122, 147, 118, 121, 148, 174, 181, 18, 209lsmdisj3 18017 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) = { 0 })
211144, 210sseqtrd 3620 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 })
21256, 211jca 554 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402   ciun 4485   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669  LSSumclsm 17970   DProd cdprd 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-dprd 18315
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  18366
  Copyright terms: Public domain W3C validator