MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplitlem 18482
Description: Lemma for dmdprdsplit 18492. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplitlem.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dmdprdsplitlem.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dmdprdsplitlem.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dmdprdsplitlem.3 (𝜑𝐴𝐼)
dmdprdsplitlem.4 (𝜑𝐹𝑊)
dmdprdsplitlem.5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   0 ,   ,𝑖,𝐴   ,𝐺,𝑖   ,𝐼,𝑖   ,𝐹   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(,𝑖)   𝑋(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3dprdf2 18452 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐼)
64, 5fssresd 6109 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
7 fdm 6089 . . . . . 6 ((𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
9 eqid 2651 . . . . . . 7 {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
108, 9eldprd 18449 . . . . . 6 (dom (𝑆𝐴) = 𝐴 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
116, 7, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
121, 11mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
1312simprd 478 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1413adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
15 simprr 811 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1612simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
1716ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
186, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
1918ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
20 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
21 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
229, 17, 19, 20, 21dprdff 18457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝐺))
2322feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
245ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴𝐼)
2524resmptd 5487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
26 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = (𝑓𝑛))
2726mpteq2ia 4773 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛))
2825, 27syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
2923, 28eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴))
3029oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)))
31 eqid 2651 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
322ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
33 dprdgrp 18450 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
34 grpmnd 17476 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
362, 3dprddomcld 18446 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
3736ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
393ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
4017adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
4119adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
42 simplrl 817 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
439, 40, 41, 42dprdfcl 18458 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ((𝑆𝐴)‘𝑛))
44 fvres 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐴 → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4643, 45eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ (𝑆𝑛))
474ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4847ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
498subg0cl 17649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛𝐴) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5246, 51ifclda 4153 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
53 mptexg 6525 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ V → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
5554ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
56 funmpt 5964 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
589, 17, 19, 20dprdffsupp 18459 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
60 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6160ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6259, 61eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 )))
63 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
6536, 5ssexd 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ V)
6665ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 ∈ V)
67 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0g𝐺) ∈ V
688, 67eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 0 ∈ V)
7022, 64, 66, 69suppssr 7371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
7170adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
7262, 71syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) = 0 )
7372ifeq1da 4149 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑛𝐴, 0 , 0 ))
74 ifid 4158 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑛𝐴, 0 , 0 ) = 0
7573, 74syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
7675, 37suppss2 7374 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
77 fsuppsssupp 8332 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7855, 57, 58, 76, 77syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7938, 32, 39, 52, 78dprdwd 18456 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ 𝑊)
8038, 32, 39, 79, 21dprdff 18457 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )):𝐼⟶(Base‘𝐺))
8138, 32, 39, 79, 31dprdfcntz 18460 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
82 eldifn 3766 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑛𝐴)
8382adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → ¬ 𝑛𝐴)
8483iffalsed 4130 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
8584, 37suppss2 7374 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
8621, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78gsumzres 18356 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8715, 30, 863eqtrd 2689 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
88 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑊)
8988ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹𝑊)
908, 38, 32, 39, 89, 79dprdf11 18468 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ↔ 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
9187, 90mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
9291fveq1d 6231 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋))
93 eldifi 3765 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑋𝐼)
9493ad2antlr 763 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑋𝐼)
95 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑛𝐴𝑋𝐴))
96 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑋))
9795, 96ifbieq1d 4142 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
98 eqid 2651 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
99 fvex 6239 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ∈ V
10099, 68ifex 4189 . . . . 5 if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ V
10197, 98, 100fvmpt3i 6326 . . . 4 (𝑋𝐼 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
10294, 101syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
103 eldifn 3766 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑋𝐴)
104103ad2antlr 763 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ¬ 𝑋𝐴)
105104iffalsed 4130 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ) = 0 )
10692, 102, 1053eqtrd 2689 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = 0 )
10714, 106rexlimddv 3064 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cres 5145  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-cmn 18241  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprddisj2  18484
  Copyright terms: Public domain W3C validator