Theorem dmi 3322

Description: The domain of the identity relation is the universe.

Assertion

Ref	Expression
dmi	⊢ dom I = V

Proof of Theorem dmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 1124	. . . . 5 ⊢ ∃y y = x
2		visset 1810	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
3	2	ideq 3273	. . . . . . 7 ⊢ (xIy ↔ x = y)
4		eqcom 1475	. . . . . . 7 ⊢ (x = y ↔ y = x)
5	3, 4	bitr 173	. . . . . 6 ⊢ (xIy ↔ y = x)
6	5	exbii 1050	. . . . 5 ⊢ (∃y xIy ↔ ∃y y = x)
7	1, 6	mpbir 190	. . . 4 ⊢ ∃y xIy
8		eqid 1474	. . . 4 ⊢ x = x
9	7, 8	2th 717	. . 3 ⊢ (∃y xIy ↔ x = x)
10	9	abbii 1573	. 2 ⊢ {x∣∃y xIy} = {x∣x = x}
11		df-dm 3184	. 2 ⊢ dom I = {x∣∃y xIy}
12		df-v 1809	. 2 ⊢ V = {x∣x = x}
13	10, 11, 12	3eqtr4 1503	1 ⊢ dom I = V

Syntax hints:   = wceq 955  ∃wex 979  {cab 1462  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  Icid 2827  dom cdm 3166

This theorem is referenced by:  dmv 3323  inelv 3358  dmresi 3395  fvi 3837  dmen 4397

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-dm 3184

Copyright terms: Public domain