MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmrecnq 10378
Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq dom *Q = Q

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 10327 . . . . . 6 *Q = ( ·Q “ {1Q})
2 cnvimass 5942 . . . . . 6 ( ·Q “ {1Q}) ⊆ dom ·Q
31, 2eqsstri 3998 . . . . 5 *Q ⊆ dom ·Q
4 mulnqf 10359 . . . . . 6 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 6517 . . . . 5 dom ·Q = (Q × Q)
63, 5sseqtri 4000 . . . 4 *Q ⊆ (Q × Q)
7 dmss 5764 . . . 4 (*Q ⊆ (Q × Q) → dom *Q ⊆ dom (Q × Q))
86, 7ax-mp 5 . . 3 dom *Q ⊆ dom (Q × Q)
9 dmxpid 5793 . . 3 dom (Q × Q) = Q
108, 9sseqtri 4000 . 2 dom *QQ
11 recclnq 10376 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
12 opelxpi 5585 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ (*Q𝑥) ∈ Q) → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
1311, 12mpdan 683 . . . . . . 7 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
14 df-ov 7148 . . . . . . . 8 (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩)
15 recidnq 10375 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = 1Q)
1614, 15syl5eqr 2867 . . . . . . 7 (𝑥Q → ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)
17 ffn 6507 . . . . . . . 8 ( ·Q :(Q × Q)⟶Q → ·Q Fn (Q × Q))
18 fniniseg 6822 . . . . . . . 8 ( ·Q Fn (Q × Q) → (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)))
194, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q))
2013, 16, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}))
2120, 1eleqtrrdi 2921 . . . . 5 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
22 df-br 5058 . . . . 5 (𝑥*Q(*Q𝑥) ↔ ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
2321, 22sylibr 235 . . . 4 (𝑥Q𝑥*Q(*Q𝑥))
24 vex 3495 . . . . 5 𝑥 ∈ V
25 fvex 6676 . . . . 5 (*Q𝑥) ∈ V
2624, 25breldm 5770 . . . 4 (𝑥*Q(*Q𝑥) → 𝑥 ∈ dom *Q)
2723, 26syl 17 . . 3 (𝑥Q𝑥 ∈ dom *Q)
2827ssriv 3968 . 2 Q ⊆ dom *Q
2910, 28eqssi 3980 1 dom *Q = Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  {csn 4557  cop 4563   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Qcnq 10262  1Qc1q 10263   ·Q cmq 10266  *Qcrq 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ni 10282  df-mi 10284  df-lti 10285  df-mpq 10319  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327
This theorem is referenced by:  ltrnq  10389  reclem2pr  10458
  Copyright terms: Public domain W3C validator