MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmresi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmresi 5421
Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmresi dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi
StepHypRef Expression
1 ssv 3609 . . 3 𝐴 ⊆ V
2 dmi 5305 . . 3 dom I = V
31, 2sseqtr4i 3622 . 2 𝐴 ⊆ dom I
4 ssdmres 5384 . 2 (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
53, 4mpbi 220 1 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  Vcvv 3189  wss 3559   I cid 4989  dom cdm 5079  cres 5081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-dm 5089  df-res 5091
This theorem is referenced by:  fnresi  5971  iordsmo  7406  residfi  8199  hartogslem1  8399  dfac9  8910  hsmexlem5  9204  relexpdmg  13724  relexpfld  13731  relexpaddg  13735  dirdm  17166  islinds2  20084  lindsind2  20090  f1linds  20096  wilthlem3  24713  ausgrusgrb  25970  upgrres1  26110  umgrres1  26111  usgrres1  26112  usgrexilem  26240  idssxp  29296  filnetlem3  32052  filnetlem4  32053  rclexi  37438  rtrclex  37440  rtrclexi  37444  cnvrcl0  37448  dfrtrcl5  37452  dfrcl2  37482  brfvrcld2  37500  iunrelexp0  37510  relexpiidm  37512  relexp01min  37521  idhe  37598  uspgrsprfo  41070
  Copyright terms: Public domain W3C validator