Theorem dmresi 5915

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3990	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5785	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 4003	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5870	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 232	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1533  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   I cid 5453  dom cdm 5549   ↾ cres 5551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-dm 5559  df-res 5561

This theorem is referenced by:  fnresiOLD  6471  iordsmo  7988  residfi  8799  hartogslem1  9000  dfac9  9556  hsmexlem5  9846  relexpdmg  14395  relexpfld  14402  relexpaddg  14406  dirdm  17838  islinds2  20951  lindsind2  20957  f1linds  20963  wilthlem3  25641  ausgrusgrb  26944  usgrres1  27091  usgrexilem  27216  filnetlem3  33723  filnetlem4  33724  rclexi  39968  cnvrcl0  39978  dfrtrcl5  39982  dfrcl2  40012  brfvrcld2  40030  iunrelexp0  40040  relexpiidm  40042  relexp01min  40051  ushrisomgr  44000  uspgrsprfo  44017