Theorem dmss 5765

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)

Proof of Theorem dmss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3960	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
2	1	eximdv 1914	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 → ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3		vex 3497	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	eldm2 5764	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
5	3	eldm2 5764	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)
6	2, 4, 5	3imtr4g 298	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐴 → 𝑥 ∈ dom 𝐵))
7	6	ssrdv 3972	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ⟨cop 4566  dom cdm 5549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-dm 5559

This theorem is referenced by:  dmeq  5766  dmv  5786  rnss  5803  dmiin  5819  ssxpb  6025  sofld  6038  relrelss  6118  funssxp  6529  fndmdif  6806  fneqeql2  6811  dff3  6860  frxp  7814  fnwelem  7819  funsssuppss  7850  tposss  7887  wfrlem16  7964  smores  7983  smores2  7985  tfrlem13  8020  imafi  8811  hartogslem1  9000  wemapso  9009  r0weon  9432  infxpenlem  9433  brdom3  9944  brdom5  9945  brdom4  9946  fpwwe2lem13  10058  fpwwe2  10059  canth4  10063  canthwelem  10066  pwfseqlem4  10078  nqerf  10346  dmrecnq  10384  uzrdgfni  13320  hashdmpropge2  13835  dmtrclfv  14372  rlimpm  14851  isstruct2  16487  strleun  16585  imasaddfnlem  16795  imasvscafn  16804  isohom  17040  catcoppccl  17362  tsrss  17827  ledm  17828  dirdm  17838  f1omvdmvd  18565  mvdco  18567  f1omvdconj  18568  pmtrfb  18587  pmtrfconj  18588  symggen  18592  symggen2  18593  pmtrdifellem1  18598  pmtrdifellem2  18599  psgnunilem1  18615  gsum2d  19086  lspextmo  19822  dsmmfi  20876  lindfres  20961  mdetdiaglem  21201  tsmsxp  22757  ustssco  22817  setsmstopn  23082  metustexhalf  23160  tngtopn  23253  equivcau  23897  metsscmetcld  23912  dvbssntr  24492  pserdv  25011  subgreldmiedg  27059  hlimcaui  29007  nfpconfp  30371  symgcom2  30723  pmtrcnel  30728  pmtrcnel2  30729  pmtrcnelor  30730  cycpmrn  30780  metideq  31128  esum2d  31347  subgrwlk  32374  fundmpss  33004  frrlem8  33125  frrlem14  33131  fixssdm  33362  filnetlem3  33723  filnetlem4  33724  ssbnd  35060  bnd2lem  35063  ismrcd1  39288  istopclsd  39290  mptrcllem  39966  cnvrcl0  39978  dmtrcl  39980  dfrcl2  40012  relexpss1d  40043  rp-imass  40110  rfovcnvf1od  40343  fourierdlem80  42465  issmflem  42998