Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmvlsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmvlsiga 29997
Description: Lebesgue-measurable subsets of form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmvlsiga dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssb 4583 . . 3 (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2 mblss 23222 . . 3 (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
31, 2mprgbir 2922 . 2 dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4 rembl 23231 . . 3 ℝ ∈ dom vol
5 cmmbl 23225 . . . 4 (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
65rgen 2917 . . 3 𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7 nnenom 12727 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
87ensymi 7958 . . . . . . . 8 ω ≈ ℕ
9 domentr 7967 . . . . . . . 8 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
108, 9mpan2 706 . . . . . . 7 (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11 elpwi 4145 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12 dfss3 3577 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1311, 12sylib 208 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14 iunmbl2 23248 . . . . . . 7 ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1510, 13, 14syl2anr 495 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1615ex 450 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17 uniiun 4544 . . . . . 6 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
1817eleq1i 2689 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1916, 18syl6ibr 242 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol))
2019rgen 2917 . . 3 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol)
214, 6, 203pm3.2i 1237 . 2 (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol))
22 reex 9979 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322pwex 4813 . . . 4 𝒫 ℝ ∈ V
2423, 3ssexi 4768 . . 3 dom vol ∈ V
25 issiga 29979 . . 3 (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol)))))
2624, 25ax-mp 5 . 2 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol))))
273, 21, 26mpbir2an 954 1 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  cdif 3556  wss 3559  𝒫 cpw 4135   cuni 4407   ciun 4490   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5852  ωcom 7019  cen 7904  cdom 7905  cr 9887  cn 10972  volcvol 23155  sigAlgebracsiga 29975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-xmet 19671  df-met 19672  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-siga 29976
This theorem is referenced by:  volmeas  30099  mbfmvolf  30133  elmbfmvol2  30134
  Copyright terms: Public domain W3C validator