Theorem dmxpss 5470

Description: The domain of a Cartesian product is a subclass of the first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem dmxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5043	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
2		xp0 5457	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
3	1, 2	syl6eq 2659	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4	3	dmeqd 5235	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = dom ∅)
5		dm0 5247	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
6	4, 5	syl6eq 2659	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7		0ss 3923	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
8	6, 7	syl6eqss 3617	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
9		dmxp 5252	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
10		eqimss 3619	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴 → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	pm2.61ine 2864	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1474   ≠ wne 2779   ⊆ wss 3539  ∅c0 3873   × cxp 5026  dom cdm 5028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-dm 5038

This theorem is referenced by:  rnxpss  5471  ssxpb  5473  funssxp  5960  dff3  6265  fparlem3  7143  fparlem4  7144  brdom3  9208  brdom5  9209  brdom4  9210  canthwelem  9328  pwfseqlem4  9340  uzrdgfni  12574  xptrrel  13513  rlimpm  14025  xpsc0  15989  xpsc1  15990  xpsfrnel2  15994  isohom  16205  ledm  16993  gsumxp  18144  dprd2d2  18212  tsmsxp  21710  dvbssntr  23387  esum2d  29288  poimirlem3  32378  rtrclex  36739  trclexi  36742  rtrclexi  36743  cnvtrcl0  36748  dmtrcl  36749  rp-imass  36881  rfovcnvf1od  37114  issmflem  39410