Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem10 33723
Description: Lemma for dnibnd 33727. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem10 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10
StepHypRef Expression
1 1red 10630 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dnibndlem10.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 halfre 11839 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 reflcl 13154 . . . . . . 7 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
87, 4jca 512 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 resubcl 10938 . . . . 5 (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11 dnibndlem10.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211, 4readdcld 10658 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 13154 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514, 4readdcld 10658 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1610, 15jca 512 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17 resubcl 10938 . . 3 ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
192, 11resubcld 11056 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2014recnd 10657 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21 2cnd 11703 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
224recnd 10657 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2320, 21, 22addsubassd 11005 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
2423oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
2521, 22subcld 10985 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
2620, 25, 22pnpcand 11022 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
2721, 22, 22subsub4d 11016 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28 ax-1cn 10583 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
29 2halves 11853 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3231oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33 2m1e1 11751 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − 1) = 1)
3527, 32, 343eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
3624, 26, 353eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
3736eqcomd 2824 . . 3 (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38 2re 11699 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4014, 39readdcld 10658 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
4140, 4jca 512 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42 resubcl 10938 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44 dnibndlem10.3 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
4540, 7, 4, 44lesub1dd 11244 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
4643, 10, 15, 45lesub1dd 11244 . . 3 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
4737, 46eqbrtrd 5079 . 2 (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48 flle 13157 . . . . 5 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
495, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
507, 4, 2lesubaddd 11225 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
5149, 50mpbird 258 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52 fllep1 13159 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5420, 22, 22addassd 10651 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
5531oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5654, 55eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5756eqcomd 2824 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5853, 57breqtrd 5083 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5911, 15, 4leadd1d 11222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
6058, 59mpbird 258 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
6110, 11, 2, 15, 51, 60le2subd 11248 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵𝐴))
621, 18, 19, 47, 61letrd 10785 1 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  cfl 13148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13150
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  33725
  Copyright terms: Public domain W3C validator