Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem10 32779
Description: Lemma for dnibnd 32783. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem10 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10
StepHypRef Expression
1 1red 10243 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dnibndlem10.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 halfre 11434 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 10257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 reflcl 12787 . . . . . . 7 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
87, 4jca 555 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 resubcl 10533 . . . . 5 (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11 dnibndlem10.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211, 4readdcld 10257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 12787 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514, 4readdcld 10257 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1610, 15jca 555 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17 resubcl 10533 . . 3 ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
192, 11resubcld 10646 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2014recnd 10256 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21 2cnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
224recnd 10256 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2320, 21, 22addsubassd 10600 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
2423oveq1d 6824 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
2521, 22subcld 10580 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
2620, 25, 22pnpcand 10617 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
2721, 22, 22subsub4d 10611 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28 ax-1cn 10182 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
29 2halves 11448 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3231oveq2d 6825 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33 2m1e1 11323 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − 1) = 1)
3527, 32, 343eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
3624, 26, 353eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
3736eqcomd 2762 . . 3 (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38 2re 11278 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4014, 39readdcld 10257 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
4140, 4jca 555 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42 resubcl 10533 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44 dnibndlem10.3 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
4540, 7, 4, 44lesub1dd 10831 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
4643, 10, 15, 45lesub1dd 10831 . . 3 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
4737, 46eqbrtrd 4822 . 2 (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48 flle 12790 . . . . 5 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
495, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
507, 4, 2lesubaddd 10812 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
5149, 50mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52 fllep1 12792 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5420, 22, 22addassd 10250 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
5531oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5654, 55eqtrd 2790 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5756eqcomd 2762 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5853, 57breqtrd 4826 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5911, 15, 4leadd1d 10809 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
6058, 59mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
6110, 11, 2, 15, 51, 60le2subd 10835 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵𝐴))
621, 18, 19, 47, 61letrd 10382 1 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  1c1 10125   + caddc 10127  cle 10263  cmin 10454   / cdiv 10872  2c2 11258  cfl 12781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fl 12783
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  32781
  Copyright terms: Public domain W3C validator