Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem10 32111
Description: Lemma for dnibnd 32115. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem10.3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem10 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem10
StepHypRef Expression
1 1red 10000 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dnibndlem10.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 halfre 11191 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
52, 4readdcld 10014 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6 reflcl 12534 . . . . . . 7 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
87, 4jca 554 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 resubcl 10290 . . . . 5 (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
11 dnibndlem10.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211, 4readdcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 12534 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514, 4readdcld 10014 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1610, 15jca 554 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ))
17 resubcl 10290 . . 3 ((((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
192, 11resubcld 10403 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2014recnd 10013 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
21 2cnd 11038 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
224recnd 10013 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2320, 21, 22addsubassd 10357 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))))
2423oveq1d 6620 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
2521, 22subcld 10337 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
2620, 25, 22pnpcand 10374 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (2 − (1 / 2))) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)))
2721, 22, 22subsub4d 10368 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))))
28 ax-1cn 9939 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
29 2halves 11205 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
3231oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (2 − 1))
33 2m1e1 11080 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (2 − 1) = 1)
3527, 32, 343eqtrd 2664 . . . . 5 (𝜑 → ((2 − (1 / 2)) − (1 / 2)) = 1)
3624, 26, 353eqtrd 2664 . . . 4 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) = 1)
3736eqcomd 2632 . . 3 (𝜑 → 1 = ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
38 2re 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4014, 39readdcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ)
4140, 4jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
42 resubcl 10290 . . . . 5 ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
44 dnibndlem10.3 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
4540, 7, 4, 44lesub1dd 10588 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)))
4643, 10, 15, 45lesub1dd 10588 . . 3 (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
4737, 46eqbrtrd 4640 . 2 (𝜑 → 1 ≤ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))))
48 flle 12537 . . . . 5 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
495, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
507, 4, 2lesubaddd 10569 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
5149, 50mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
52 fllep1 12539 . . . . . 6 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5420, 22, 22addassd 10007 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
5531oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5654, 55eqtrd 2660 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
5756eqcomd 2632 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5853, 57breqtrd 4644 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
5911, 15, 4leadd1d 10566 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) ↔ (𝐴 + (1 / 2)) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) + (1 / 2))))
6058, 59mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
6110, 11, 2, 15, 51, 60le2subd 10592 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2))) ≤ (𝐵𝐴))
621, 18, 19, 47, 61letrd 10139 1 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  1c1 9882   + caddc 9884  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  cfl 12528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fl 12530
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  32113
  Copyright terms: Public domain W3C validator