Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochfln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochfln0 37083
Description: The value of a functional is nonzero at a nonzero vector in the orthocomplement of its kernel. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochfln0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochfln0.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochfln0.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochfln0.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochfln0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochfln0.n 𝑁 = (0g𝑅)
dochfln0.z 0 = (0g𝑈)
dochfln0.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochfln0.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochfln0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochfln0.g (𝜑𝐺𝐹)
dochfln0.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dochfln0 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dochfln0
StepHypRef Expression
1 dochfln0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dochfln0.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochfln0.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochfln0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 dochfln0.z . . 3 0 = (0g𝑈)
6 dochfln0.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 dochfln0.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8 dochfln0.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
91, 3, 6dvhlmod 36716 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 dochfln0.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
114, 7, 8, 9, 10lkrssv 34701 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
121, 3, 4, 2dochssv 36961 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
136, 11, 12syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
1413ssdifd 3779 . . . 4 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 dochfln0.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
1614, 15sseldd 3637 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16dochnel 36999 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}))
1815eldifad 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
1913, 18sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2019biantrurd 528 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 𝑁 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 𝑁)))
21 dochfln0.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22 dochfln0.n . . . . . 6 𝑁 = (0g𝑅)
234, 21, 22, 7, 8ellkr 34694 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 𝑁)))
249, 10, 23syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 𝑁)))
251, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 6, 10, 15dochsnkr 37078 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))
2625eleq2d 2716 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿𝐺) ↔ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋})))
2720, 24, 263bitr2rd 297 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}) ↔ (𝐺𝑋) = 𝑁))
2827necon3bbid 2860 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝑋}) ↔ (𝐺𝑋) ≠ 𝑁))
2917, 28mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  ocHcoch 36953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001
This theorem is referenced by:  dochkr1  37084  dochkr1OLDN  37085  lcfl6lem  37104
  Copyright terms: Public domain W3C validator