Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochocss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochocss 36972
Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dochocss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem dochocss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4527 . 2 𝑋 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}
2 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dochss.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 4, 5, 6dochcl 36959 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2651 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
98, 2, 3, 6dochvalr 36963 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
107, 9syldan 486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
118, 2, 3, 4, 5, 6dochval2 36958 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
1211fveq2d 6233 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))))
13 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1513, 2, 3, 4, 14dihf11 36873 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17 f1f1orn 6186 . . . . . . . . 9 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19 hlop 34967 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2524, 2, 3, 4, 5dih1 36892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27 f1fn 6140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2913, 24op1cl 34790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3020, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3228, 30, 31syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3326, 32eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
35 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑉 → (𝑋𝑧𝑋𝑉))
3635elrab 3396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋𝑉))
3733, 34, 36sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
38 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)
402, 3dihintcl 36950 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
4121, 23, 39, 40syl12anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
42 f1ocnvdm 6580 . . . . . . . . . 10 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4318, 41, 42syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4413, 8opoccl 34799 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
4520, 43, 44syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
46 f1ocnvfv1 6572 . . . . . . . 8 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4718, 45, 46syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4812, 47eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4948fveq2d 6233 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
5013, 8opococ 34800 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5120, 43, 50syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5249, 51eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5352fveq2d 6233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
54 f1ocnvfv2 6573 . . . 4 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5518, 41, 54syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5610, 53, 553eqtrrd 2690 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} = ( ‘( 𝑋)))
571, 56syl5sseq 3686 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   cint 4507  ccnv 5142  ran crn 5144   Fn wfn 5921  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  Basecbs 15904  occoc 15996  1.cp1 17085  LSubSpclss 18980  OPcops 34777  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  DIsoHcdih 36834  ocHcoch 36953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954
This theorem is referenced by:  dochsscl  36974  dochsat  36989  dochshpncl  36990  dochlkr  36991  dochdmj1  36996  dochnoncon  36997
  Copyright terms: Public domain W3C validator