Theorem dochord2N 36977

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochord2N	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑋))

Proof of Theorem dochord2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doch11.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch11.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		doch11.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
6		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	1, 6, 2, 7	dihrnlss 36883	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	4, 5, 8	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
11	10, 7	lssss 18985	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13	1, 2, 6, 10, 3	dochcl 36959	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
14	4, 12, 13	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
15		doch11.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dochord 36976	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
17	1, 2, 3	dochoc 36973	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
18	4, 5, 17	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
19	18	sseq2d 3666	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑋))
20	16, 19	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ran crn 5144  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  LSubSpclss 18980  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  DIsoHcdih 36834  ocHcoch 36953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954

This theorem is referenced by: (None)