Theorem dochord2N 35472

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochord2N	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑋))

Proof of Theorem dochord2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doch11.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch11.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		doch11.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
6		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	1, 6, 2, 7	dihrnlss 35378	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	4, 5, 8	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
11	10, 7	lssss 18707	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13	1, 2, 6, 10, 3	dochcl 35454	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
14	4, 12, 13	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
15		doch11.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dochord 35471	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
17	1, 2, 3	dochoc 35468	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
18	4, 5, 17	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
19	18	sseq2d 3596	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑋))
20	16, 19	bitrd 267	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ran crn 5029  ‘cfv 5790  Basecbs 15644  LSubSpclss 18702  HLchlt 33449  LHypclh 34082  DVecHcdvh 35179  DIsoHcdih 35329  ocHcoch 35448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-riotaBAD 33051

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-undef 7264  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-0g 15874  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-lsm 17823  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-lvec 18873  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-lplanes 33597  df-lvols 33598  df-lines 33599  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894  df-lhyp 34086  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203  df-trl 34258  df-tendo 34855  df-edring 34857  df-disoa 35130  df-dvech 35180  df-dib 35240  df-dic 35274  df-dih 35330  df-doch 35449

This theorem is referenced by: (None)