Theorem dochord3 38512

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochord3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doch11.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch11.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		doch11.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
6		doch11.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
7		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9	1, 7, 2, 8	dihrnlss 38417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10	4, 6, 9	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
12	11, 8	lssss 19711	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14	1, 2, 7, 11, 3	dochcl 38493	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran 𝐼)
15	4, 13, 14	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran 𝐼)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	dochord 38510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
17	1, 2, 3	dochoc 38507	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
18	4, 6, 17	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
19	18	sseq1d 4001	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
20	16, 19	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  ran crn 5559  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  LSubSpclss 19706  HLchlt 36490  LHypclh 37124  DVecHcdvh 38218  DIsoHcdih 38368  ocHcoch 38487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-riotaBAD 36093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-undef 7942  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-tendo 37895  df-edring 37897  df-disoa 38169  df-dvech 38219  df-dib 38279  df-dic 38313  df-dih 38369  df-doch 38488

This theorem is referenced by:  dochsncom  38522