Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsnnz 37237
Description: The orthocomplement of a singleton is nonzero. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnnz.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnnz.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnnz.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnnz.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnnz.z 0 = (0g𝑈)
dochsnnz.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsnnz.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochsnnz (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Proof of Theorem dochsnnz
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochsnnz.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dochsnnz.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochsnnz.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochsnnz.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 eqid 2756 . . . 4 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6 dochsnnz.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 dochsnnz.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dochocsn 37168 . . 3 (𝜑 → ( ‘( ‘{𝑋})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
91, 2, 4, 5, 6, 7dvh2dim 37232 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦𝑉 ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
10 eleq2 2824 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) = 𝑉 → (𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ↔ 𝑦𝑉))
1110biimprcd 240 . . . . . 6 (𝑦𝑉 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) = 𝑉𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
1211necon3bd 2942 . . . . 5 (𝑦𝑉 → (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉))
1312rexlimiv 3161 . . . 4 (∃𝑦𝑉 ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉)
149, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉)
158, 14eqnetrd 2995 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘{𝑋})) ≠ 𝑉)
16 dochsnnz.z . . 3 0 = (0g𝑈)
177snssd 4481 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
181, 3, 2, 4, 16, 6, 17dochn0nv 37162 . 2 (𝜑 → (( ‘{𝑋}) ≠ { 0 } ↔ ( ‘( ‘{𝑋})) ≠ 𝑉))
1915, 18mpbird 247 1 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ≠ { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wrex 3047  {csn 4317  cfv 6045  Basecbs 16055  0gc0g 16298  LSpanclspn 19169  HLchlt 35136  LHypclh 35769  DVecHcdvh 36865  ocHcoch 37134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-riotaBAD 34738
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-undef 7564  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-0g 16300  df-preset 17125  df-poset 17143  df-plt 17155  df-lub 17171  df-glb 17172  df-join 17173  df-meet 17174  df-p0 17236  df-p1 17237  df-lat 17243  df-clat 17305  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-subg 17788  df-cntz 17946  df-lsm 18247  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19170  df-lvec 19301  df-lsatoms 34762  df-oposet 34962  df-ol 34964  df-oml 34965  df-covers 35052  df-ats 35053  df-atl 35084  df-cvlat 35108  df-hlat 35137  df-llines 35283  df-lplanes 35284  df-lvols 35285  df-lines 35286  df-psubsp 35288  df-pmap 35289  df-padd 35581  df-lhyp 35773  df-laut 35774  df-ldil 35889  df-ltrn 35890  df-trl 35945  df-tgrp 36529  df-tendo 36541  df-edring 36543  df-dveca 36789  df-disoa 36816  df-dvech 36866  df-dib 36926  df-dic 36960  df-dih 37016  df-doch 37135  df-djh 37182
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  37715
  Copyright terms: Public domain W3C validator