Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsscl 35475
Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsscl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsscl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsscl.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsscl.x (𝜑𝑋𝑉)
dochsscl.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochsscl (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem dochsscl
StepHypRef Expression
1 dochsscl.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 dochsscl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
43adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑉)
5 dochsscl.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dochsscl.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 dochsscl.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 dochsscl.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8dochssv 35462 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
102, 4, 9syl2anc 690 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
11 dochsscl.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
12 dochsscl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
135, 6, 12, 7dihrnss 35385 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌𝑉)
141, 11, 13syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌𝑉)
16 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
175, 6, 7, 8dochss 35472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
182, 15, 16, 17syl3anc 1317 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
195, 6, 7, 8dochss 35472 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
202, 10, 18, 19syl3anc 1317 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2111adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
225, 12, 8dochoc 35474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
232, 21, 22syl2anc 690 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
2420, 23sseqtrd 3600 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑌)
255, 6, 7, 8dochocss 35473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
261, 3, 25syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
27 sstr 3572 . . 3 ((𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋𝑌)
2826, 27sylan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋𝑌)
2924, 28impbida 872 1 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3536  ran crn 5026  cfv 5787  Basecbs 15638  HLchlt 33455  LHypclh 34088  DVecHcdvh 35185  DIsoHcdih 35335  ocHcoch 35454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-riotaBAD 33057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-undef 7260  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-lsm 17817  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-lsatoms 33081  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604  df-lines 33605  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264  df-tendo 34861  df-edring 34863  df-disoa 35136  df-dvech 35186  df-dib 35246  df-dic 35280  df-dih 35336  df-doch 35455
This theorem is referenced by:  hdmapoc  36041
  Copyright terms: Public domain W3C validator