MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dom0 8073
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0
StepHypRef Expression
1 reldom 7946 . . . . 5 Rel ≼
21brrelexi 5148 . . . 4 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3 0domg 8072 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
54pm4.71i 663 . 2 (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6 sbthb 8066 . 2 ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7 en0 8004 . 2 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
85, 6, 73bitri 286 1 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  c0 3907   class class class wbr 4644  cen 7937  cdom 7938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942
This theorem is referenced by:  pwcdadom  9023  fin1a2lem11  9217  cfpwsdom  9391
  Copyright terms: Public domain W3C validator