MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 8144
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 8056 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 468 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 8046 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 8056 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 468 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 487 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 895 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   class class class wbr 4685  cen 7994  cdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  infdiffi  8593  carddomi2  8834  numdom  8899  cdadom2  9047  infdif  9069  fin45  9252  fin67  9255  aleph1  9431  gchdomtri  9489  gchpwdom  9530  gchhar  9539  ctbnfien  37699
  Copyright terms: Public domain W3C validator