MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 8048
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 7960 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 469 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 7950 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 7960 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 469 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 488 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 876 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   class class class wbr 4618  cen 7897  cdom 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902
This theorem is referenced by:  infdiffi  8500  carddomi2  8741  numdom  8806  cdadom2  8954  infdif  8976  fin45  9159  fin67  9162  aleph1  9338  gchdomtri  9396  gchpwdom  9437  gchhar  9446  ctbnfien  36848
  Copyright terms: Public domain W3C validator