MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domfi 8125
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7913 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴)))
2 ssfi 8124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
32adantrl 751 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4 enfii 8121 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
54adantrr 752 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
63, 5sylancom 700 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
76ex 450 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
87exlimdv 1858 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
91, 8sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
109imp 445 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wss 3555   class class class wbr 4613  cen 7896  cdom 7897  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-om 7013  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  xpfir  8126  dmfi  8188  fofi  8196  pwfilem  8204  pwfi  8205  sdom2en01  9068  isfin1-2  9151  fin67  9161  fin1a2lem9  9174  gchcda1  9422  hashdomi  13109  symggen  17811  cmpsub  21113  ufinffr  21643  alexsubALT  21765  ovolicc2lem4  23195  aannenlem1  23987  ffsrn  29347  locfinreflem  29689  lindsenlbs  33036  harinf  37081  kelac2lem  37114  disjinfi  38854
  Copyright terms: Public domain W3C validator