Theorem dominfac 9339

Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 9225. See dominf 9211 for a version proved from ax-cc 9201. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
dominfac.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dominfac	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem dominfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dominfac.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		neeq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4		unieq 4410	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
5	3, 4	sseq12d 3613	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴))
6	2, 5	anbi12d 746	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)))
7		breq2 4617	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 334	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → ω ≼ 𝑥) ↔ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)))
9		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}) = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
10		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω)
11	9, 10, 1, 1	inf3lem6 8474	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥)
12		vpwex 4809	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
13	12	f1dom 7921	. . 3 ⊢ ((rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝒫 𝑥)
14		pwfi 8205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
15	14	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
16		isfinite 8493	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ≺ ω)
17		isfinite 8493	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
18	15, 16, 17	3imtr3i 280	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
19	18	con3i 150	. . . 4 ⊢ (¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≺ ω)
20		omex 8484	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
21		domtri 9322	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω))
22	20, 12, 21	mp2an 707	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
23		vex 3189	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
24		domtri 9322	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω))
25	20, 23, 24	mp2an 707	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω)
26	19, 22, 25	3imtr4i 281	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝑥)
27	11, 13, 26	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → ω ≼ 𝑥)
28	1, 8, 27	vtocl 3245	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673   ↾ cres 5076  –1-1→wf1 5844  ωcom 7012  reccrdg 7450   ≼ cdom 7897   ≺ csdm 7898  Fincfn 7899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-ac 8883

This theorem is referenced by: (None)