MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domsdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domsdomtr 7957
Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
domsdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7846 . . 3 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 7872 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 489 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpr 475 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5 ensym 7868 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
6 simpl 471 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
7 endomtr 7877 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
85, 6, 7syl2anr 493 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝐵)
9 domnsym 7948 . . . . 5 (𝐶𝐵 → ¬ 𝐵𝐶)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
1110ex 448 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐵𝐶))
124, 11mt2d 129 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 7841 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 694 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   class class class wbr 4577  cen 7815  cdom 7816  csdm 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821
This theorem is referenced by:  ensdomtr  7958  sdomtr  7960  2pwuninel  7977  card2on  8319  tskwe  8636  harval2  8683  prdom2  8689  infxpenlem  8696  alephsucdom  8762  pwsdompw  8886  infunsdom1  8895  fin34  9072  ondomon  9241  cardmin  9242  konigthlem  9246  gchpwdom  9348  gchina  9377  inar1  9453  tskord  9458  tskuni  9461  tskurn  9467  csdfil  21450
  Copyright terms: Public domain W3C validator