MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtr 7961
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7913 . 2 Rel ≼
2 vex 3192 . . . 4 𝑦 ∈ V
32brdom 7919 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦)
4 vex 3192 . . . 4 𝑧 ∈ V
54brdom 7919 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧)
6 eeanv 2181 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧))
7 f1co 6072 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑦1-1𝑧𝑔:𝑥1-1𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
87ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
9 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
10 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
119, 10coex 7072 . . . . . . . 8 (𝑓𝑔) ∈ V
12 f1eq1 6058 . . . . . . . 8 ( = (𝑓𝑔) → (:𝑥1-1𝑧 ↔ (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧))
1311, 12spcev 3289 . . . . . . 7 ((𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧 → ∃ :𝑥1-1𝑧)
148, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → ∃ :𝑥1-1𝑧)
154brdom 7919 . . . . . 6 (𝑥𝑧 ↔ ∃ :𝑥1-1𝑧)
1614, 15sylibr 224 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
1716exlimivv 1857 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
186, 17sylbir 225 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
193, 5, 18syl2anb 496 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
201, 19vtoclr 5129 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1701   class class class wbr 4618  ccom 5083  1-1wf1 5849  cdom 7905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-dom 7909
This theorem is referenced by:  endomtr  7966  domentr  7967  cnvct  7985  ssct  7993  undom  8000  sdomdomtr  8045  domsdomtr  8047  xpen  8075  unxpdom2  8120  sucxpdom  8121  fidomdm  8195  hartogs  8401  harword  8422  unxpwdom  8446  harcard  8756  infxpenlem  8788  xpct  8791  indcardi  8816  fodomfi2  8835  infpwfien  8837  inffien  8838  cdadom3  8962  cdainf  8966  infcda1  8967  cdalepw  8970  unctb  8979  infcdaabs  8980  infcda  8982  infdif  8983  infdif2  8984  infxp  8989  infmap2  8992  fictb  9019  cfslb2n  9042  isfin32i  9139  fin1a2lem12  9185  hsmexlem1  9200  dmct  9298  brdom3  9302  brdom5  9303  brdom4  9304  imadomg  9308  fimact  9309  fnct  9311  mptct  9312  iundomg  9315  uniimadom  9318  ondomon  9337  unirnfdomd  9341  alephval2  9346  iunctb  9348  alephexp1  9353  alephreg  9356  cfpwsdom  9358  gchdomtri  9403  canthnum  9423  canthp1lem1  9426  canthp1  9428  pwfseqlem5  9437  pwxpndom2  9439  pwxpndom  9440  pwcdandom  9441  gchcdaidm  9442  gchxpidm  9443  gchpwdom  9444  gchaclem  9452  gchhar  9453  inar1  9549  rankcf  9551  grudomon  9591  grothac  9604  rpnnen  14892  cctop  20733  1stcfb  21171  2ndcredom  21176  2ndc1stc  21177  1stcrestlem  21178  2ndcctbss  21181  2ndcdisj2  21183  2ndcomap  21184  2ndcsep  21185  dis2ndc  21186  hauspwdom  21227  tx1stc  21376  tx2ndc  21377  met2ndci  22250  opnreen  22557  rectbntr0  22558  uniiccdif  23269  dyadmbl  23291  opnmblALT  23294  mbfimaopnlem  23345  abrexdomjm  29215  mptctf  29361  locfinreflem  29713  sigaclci  30000  omsmeas  30190  sibfof  30207  abrexdom  33192  heiborlem3  33279  ttac  37118  idomsubgmo  37292  uzct  38750  omeiunle  40064  smfaddlem2  40305  smflimlem6  40317  smfmullem4  40334  smfpimbor1lem1  40338
  Copyright terms: Public domain W3C validator