Theorem domtri 4818

Description: Trichotomy law for dominance and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice.

Assertion

Ref	Expression
domtri	⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (A ≼ B ↔ ¬ B ≺ A))

Proof of Theorem domtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom 4816	. 2 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → ((card ‘A) ⊆ (card ‘B) ↔ A ≼ B))
2		cardsdom 4817	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ D ⋀ A ∈ C) → ((card ‘B) ∈ (card ‘A) ↔ B ≺ A))
3	2	ancoms 436	. . . 4 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → ((card ‘B) ∈ (card ‘A) ↔ B ≺ A))
4	3	negbid 610	. . 3 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (¬ (card ‘B) ∈ (card ‘A) ↔ ¬ B ≺ A))
5		cardon 4807	. . . 4 ⊢ (card ‘A) ∈ On
6		cardon 4807	. . . 4 ⊢ (card ‘B) ∈ On
7		ontri1 2976	. . . 4 ⊢ (((card ‘A) ∈ On ⋀ (card ‘B) ∈ On) → ((card ‘A) ⊆ (card ‘B) ↔ ¬ (card ‘B) ∈ (card ‘A)))
8	5, 6, 7	mp2an 696	. . 3 ⊢ ((card ‘A) ⊆ (card ‘B) ↔ ¬ (card ‘B) ∈ (card ‘A))
9	4, 8	syl5bb 531	. 2 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → ((card ‘A) ⊆ (card ‘B) ↔ ¬ B ≺ A))
10	1, 9	bitr3d 529	1 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ D) → (A ≼ B ↔ ¬ B ≺ A))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 956   ⊆ wss 2043   class class class wbr 2614  Oncon0 2943   ‘cfv 3177   ≼ cdom 4355   ≺ csdm 4356  cardccrd 4793

This theorem is referenced by:  entri 4819  sdomel 4827  cardsdomel 4832  ondomcard 4837  cardmin 4840  alephsucpw 4850  alephord 4855  alephsucdom 4860  cardaleph 4865  dominf 4884  cdainf 4917  aleph1re 7502  infxpidmlem12 7514  infdif 7519  infdif2 7520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796

Copyright terms: Public domain