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Theorem domtriomlem 9216
Description: Lemma for domtriom 9217. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
domtriomlem.1 𝐴 ∈ V
domtriomlem.2 𝐵 = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
domtriomlem.3 𝐶 = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
Assertion
Ref Expression
domtriomlem 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑛,𝑦   𝐵,𝑏   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝑏   𝑦,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)   𝐶(𝑦,𝑏)

Proof of Theorem domtriomlem
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtriomlem.2 . . . . 5 𝐵 = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
2 domtriomlem.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
32pwex 4813 . . . . . 6 𝒫 𝐴 ∈ V
4 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛) → 𝑦𝐴)
54ss2abi 3658 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ⊆ {𝑦𝑦𝐴}
6 df-pw 4137 . . . . . . 7 𝒫 𝐴 = {𝑦𝑦𝐴}
75, 6sseqtr4i 3622 . . . . . 6 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ⊆ 𝒫 𝐴
83, 7ssexi 4768 . . . . 5 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ∈ V
91, 8eqeltri 2694 . . . 4 𝐵 ∈ V
10 omex 8492 . . . . 5 ω ∈ V
1110enref 7940 . . . 4 ω ≈ ω
129, 11axcc3 9212 . . 3 𝑏(𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
13 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑛 ¬ 𝐴 ∈ Fin
14 nfra1 2936 . . . . . . . 8 𝑛𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)
1513, 14nfan 1825 . . . . . . 7 𝑛𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
16 nnfi 8105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ Fin)
17 pwfi 8213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑛 ∈ Fin)
1816, 17sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ω → 𝒫 𝑛 ∈ Fin)
19 ficardom 8739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑛 ∈ Fin → (card‘𝒫 𝑛) ∈ ω)
20 isinf 8125 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑚 ∈ ω ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑚))
21 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (card‘𝒫 𝑛) → (𝑦𝑚𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛)))
2221anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (card‘𝒫 𝑛) → ((𝑦𝐴𝑦𝑚) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
2322exbidv 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (card‘𝒫 𝑛) → (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑚) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
2423rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((card‘𝒫 𝑛) ∈ ω → (∀𝑚 ∈ ω ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
2520, 24syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((card‘𝒫 𝑛) ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
27 finnum 8726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑛 ∈ Fin → 𝒫 𝑛 ∈ dom card)
28 cardid2 8731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑛 ∈ dom card → (card‘𝒫 𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)
29 entr 7960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛) ∧ (card‘𝒫 𝑛) ≈ 𝒫 𝑛) → 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)
3029expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((card‘𝒫 𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 → (𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛) → 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
3118, 27, 28, 304syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ω → (𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛) → 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
3231anim2d 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ω → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛)) → (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)))
3332eximdv 1843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ω → (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛)) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)))
3426, 33syld 47 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)))
351neeq1i 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ≠ ∅)
36 abn0 3933 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
3735, 36bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
3834, 37syl6ibr 242 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅))
3938com12 32 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → 𝐵 ≠ ∅))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ω → 𝐵 ≠ ∅))
41 rsp 2924 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ω → (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)))
4241adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ω → (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)))
4340, 42mpdd 43 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ω → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
4415, 43ralrimi 2952 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)
45443adant2 1078 . . . . 5 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)
46453expib 1265 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → ((𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
4746eximdv 1843 . . 3 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑏(𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)) → ∃𝑏𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
4812, 47mpi 20 . 2 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑏𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)
49 axcc2 9211 . . . . 5 𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
50 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → 𝑐 Fn ω)
51 nfra1 2936 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵
52 nfra1 2936 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))
5351, 52nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑛(∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
54 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑛) ∈ V
55 sseq1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑏𝑛) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑏𝑛) ⊆ 𝐴))
56 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑏𝑛) → (𝑦 ≈ 𝒫 𝑛 ↔ (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛))
5755, 56anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑏𝑛) → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ 𝒫 𝑛) ↔ ((𝑏𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)))
5854, 57, 1elab2 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑏𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛))
5958simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)
6059ralimi 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)
61 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝑏𝑛) = (𝑏𝑘))
62 pweq 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → 𝒫 𝑛 = 𝒫 𝑘)
6361, 62breq12d 4631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 ↔ (𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
6463cbvralv 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 ↔ ∀𝑘 ∈ ω (𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘)
65 peano2 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
66 omelon 8495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ω ∈ On
6766onelssi 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ⊆ ω)
68 ssralv 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑛 ⊆ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
6965, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
70 pwsdompw 8978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → 𝑘𝑛 (𝑏𝑘) ≺ (𝑏𝑛))
7170ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑛 (𝑏𝑘) ≺ (𝑏𝑛)))
7269, 71syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 𝑘𝑛 (𝑏𝑘) ≺ (𝑏𝑛)))
73 sdomdif 8060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑘𝑛 (𝑏𝑘) ≺ (𝑏𝑛) → ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ≠ ∅)
7472, 73syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ≠ ∅))
7564, 74syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 → ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ≠ ∅))
76 difss 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ⊆ (𝑏𝑛)
7754, 76ssexi 4768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ∈ V
78 domtriomlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
7978fvmpt2 6253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ω ∧ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ∈ V) → (𝐶𝑛) = ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
8077, 79mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → (𝐶𝑛) = ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
8180neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ω → ((𝐶𝑛) ≠ ∅ ↔ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ≠ ∅))
8275, 81sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 → (𝐶𝑛) ≠ ∅))
8360, 82syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑛 ∈ ω → (𝐶𝑛) ≠ ∅))
8483adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → (𝑛 ∈ ω → (𝐶𝑛) ≠ ∅))
85 rsp 2924 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑛 ∈ ω → ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → (𝑛 ∈ ω → ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))))
8784, 86mpdd 43 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
8853, 87ralrimi 2952 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))
89883adant2 1078 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))
9050, 89jca 554 . . . . . . 7 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → (𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
91903expib 1265 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → (𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))))
9291eximdv 1843 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶𝑛) ≠ ∅ → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))) → ∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))))
9349, 92mpi 20 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
94 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → 𝑐 Fn ω)
95 nfra1 2936 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)
9651, 95nfan 1825 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛))
97 rsp 2924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
9897com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)))
99 rsp 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑛 ∈ ω → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
10180eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ω → ((𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) ↔ (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))))
102 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) → (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑛))
103101, 102syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ω → ((𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑛)))
10458simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑏𝑛) ⊆ 𝐴)
105104sseld 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴))
106103, 105syl9 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ω → ((𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)))
107100, 106syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)))
108107com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → ((𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)))
10998, 108syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)))
110109com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)))
111110imp 445 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐𝑛) ∈ 𝐴))
11296, 111ralrimi 2952 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)
1131123adant2 1078 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ 𝐴)
114 ffnfv 6349 . . . . . . . . . 10 (𝑐:ω⟶𝐴 ↔ (𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ 𝐴))
11594, 113, 114sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → 𝑐:ω⟶𝐴)
116 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑘 ∈ ω
117 nnord 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
118 nnord 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
119 ordtri3or 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝑘 ∧ Ord 𝑛) → (𝑘𝑛𝑘 = 𝑛𝑛𝑘))
120117, 118, 119syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑘𝑛𝑘 = 𝑛𝑛𝑘))
121 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝑐𝑛) = (𝑐𝑘))
122 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
123122cbviunv 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑘𝑛 (𝑏𝑘) = 𝑗𝑛 (𝑏𝑗)
124 iuneq1 4505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 𝑗𝑛 (𝑏𝑗) = 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))
125123, 124syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑘 𝑘𝑛 (𝑏𝑘) = 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))
12661, 125difeq12d 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) = ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
127121, 126eleq12d 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) ↔ (𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))))
128127rspccv 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) → (𝑘 ∈ ω → (𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))))
12997, 101mpbidi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))))
13095, 129ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
131128, 130syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))))
1321313ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))))
133 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) → (𝑐𝑘) ∈ (𝑏𝑘))
134 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → ((𝑐𝑘) ∈ (𝑏𝑘) ↔ (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑘)))
135133, 134syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → ((𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) → (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑘)))
1361353ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → ((𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) → (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑘)))
137132, 136syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑘)))
138137imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑘))
139 ssiun2 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑛 → (𝑏𝑘) ⊆ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
140139sseld 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘𝑛 → ((𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑘) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
141138, 140syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘𝑛 → (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
1421413impib 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
143129com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))))
1441433ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))))
145144imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)))
146145eldifbd 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
1471463adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘))
148142, 147pm2.21dd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → 𝑘 = 𝑛)
1491483exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑛 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
150 2a1 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
151 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑛 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑛))
152151ssiun2s 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛𝑘 → (𝑏𝑛) ⊆ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))
153152sseld 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛𝑘 → ((𝑐𝑛) ∈ (𝑏𝑛) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
154102, 153syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑘 → ((𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑛) ∖ 𝑘𝑛 (𝑏𝑘)) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
155145, 154syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑘 → (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
1561553impib 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝑘 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))
157 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → ((𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) ↔ (𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))))
158 eldifn 3716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐𝑛) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))
159157, 158syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → ((𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
1601593ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → ((𝑐𝑘) ∈ ((𝑏𝑘) ∖ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
161132, 160syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗)))
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑘 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))))
1631623imp 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝑘 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ¬ (𝑐𝑛) ∈ 𝑗𝑘 (𝑏𝑗))
164156, 163pm2.21dd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑘 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → 𝑘 = 𝑛)
1651643exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛𝑘 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
166149, 150, 1653jaoi 1388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛𝑘 = 𝑛𝑛𝑘) → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
167166com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐𝑘) = (𝑐𝑛)) → ((𝑘𝑛𝑘 = 𝑛𝑛𝑘) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
1681673expia 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → ((𝑘𝑛𝑘 = 𝑛𝑛𝑘) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛))))
169120, 168mpid 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
170169com3r 87 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
171170expd 452 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑘 ∈ ω → (𝑛 ∈ ω → ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → 𝑘 = 𝑛))))
17295, 116, 171ralrimd 2954 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → (𝑘 ∈ ω → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
173172ralrimiv 2960 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛) → ∀𝑘 ∈ ω ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → 𝑘 = 𝑛))
1741733ad2ant3 1082 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ∀𝑘 ∈ ω ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → 𝑘 = 𝑛))
175 dff13 6472 . . . . . . . . 9 (𝑐:ω–1-1𝐴 ↔ (𝑐:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐𝑘) = (𝑐𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
176115, 174, 175sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → 𝑐:ω–1-1𝐴)
177 19.8a 2049 . . . . . . . 8 (𝑐:ω–1-1𝐴 → ∃𝑐 𝑐:ω–1-1𝐴)
178176, 177syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ∃𝑐 𝑐:ω–1-1𝐴)
1792brdom 7919 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑐 𝑐:ω–1-1𝐴)
180178, 179sylibr 224 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ω ≼ 𝐴)
1811803expib 1265 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ω ≼ 𝐴))
182181exlimdv 1858 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → (∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐𝑛) ∈ (𝐶𝑛)) → ω ≼ 𝐴))
18393, 182mpd 15 . . 3 (∀𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ω ≼ 𝐴)
184183exlimiv 1855 . 2 (∃𝑏𝑛 ∈ ω (𝑏𝑛) ∈ 𝐵 → ω ≼ 𝐴)
18548, 184syl 17 1 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3189  cdif 3556  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135   ciun 4490   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  Ord word 5686  suc csuc 5689   Fn wfn 5847  wf 5848  1-1wf1 5849  cfv 5852  ωcom 7019  cen 7904  cdom 7905  csdm 7906  Fincfn 7907  cardccrd 8713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942
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