Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2ltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2ltc 30490
Description: Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltc.c 𝐶 ∈ ℕ0
dp2ltc.d 𝐷 ∈ ℝ+
dp2ltc.s 𝐵 < 10
dp2ltc.l 𝐴 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2ltc 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷

Proof of Theorem dp2ltc
StepHypRef Expression
1 dp2ltc.s . . . . . 6 𝐵 < 10
2 rpssre 12384 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
3 dp2lt.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ+
42, 3sselii 3961 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
5 10re 12105 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
6 10pos 12103 . . . . . . . 8 0 < 10
7 elrp 12379 . . . . . . . 8 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
85, 6, 7mpbir2an 707 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ+
9 divlt1lt 12446 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
104, 8, 9mp2an 688 . . . . . 6 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
111, 10mpbir 232 . . . . 5 (𝐵 / 10) < 1
125, 6gt0ne0ii 11164 . . . . . . 7 10 ≠ 0
134, 5, 12redivcli 11395 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
14 1re 10629 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 dp2lt.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
1615nn0rei 11896 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
17 ltadd2 10732 . . . . . 6 (((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)))
1813, 14, 16, 17mp3an 1452 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
1911, 18mpbi 231 . . . 4 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
20 dp2ltc.l . . . . 5 𝐴 < 𝐶
2115nn0zi 11995 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
22 dp2ltc.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2322nn0zi 11995 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
24 zltp1le 12020 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
2521, 23, 24mp2an 688 . . . . 5 (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
2620, 25mpbi 231 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐶
2716, 13readdcli 10644 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ
2816, 14readdcli 10644 . . . . 5 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2922nn0rei 11896 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3027, 28, 29ltletri 10756 . . . 4 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶)
3119, 26, 30mp2an 688 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶
32 dp2ltc.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
3332, 8pm3.2i 471 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+)
34 rpdivcl 12402 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐷 / 10) ∈ ℝ+)
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 (𝐷 / 10) ∈ ℝ+
36 ltaddrp 12414 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 10) ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
3729, 35, 36mp2an 688 . . 3 𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))
382, 32sselii 3961 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ
3938, 5, 12redivcli 11395 . . . . 5 (𝐷 / 10) ∈ ℝ
4029, 39readdcli 10644 . . . 4 (𝐶 + (𝐷 / 10)) ∈ ℝ
4127, 29, 40lttri 10754 . . 3 (((𝐴 + (𝐵 / 10)) < 𝐶𝐶 < (𝐶 + (𝐷 / 10))) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10)))
4231, 37, 41mp2an 688 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐶 + (𝐷 / 10))
43 df-dp2 30475 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
44 df-dp2 30475 . 2 𝐶𝐷 = (𝐶 + (𝐷 / 10))
4542, 43, 443brtr4i 5087 1 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  +crp 12377  cdp2 30474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-rp 12378  df-dp2 30475
This theorem is referenced by:  dpltc  30510
  Copyright terms: Public domain W3C validator