Theorem dp3mul10 30576

Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dp3mul10	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 11911	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 30558	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . 3 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpmul10 30573	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
8		dfdec10 12104	. 2 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
9		10nn 12117	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 11650	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	1	nn0cni 11912	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 10650	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
13	3	recni 10657	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
14	4	recni 10657	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
15	9	nnne0i 11680	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
16	14, 10, 15	divcli 11384	. . . . 5 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℂ
17	12, 13, 16	addassi 10653	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10)) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
18		dfdec10 12104	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10)) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10))
20		df-dp2 30550	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / ;10))
21	20	oveq2i 7169	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
22	17, 19, 21	3eqtr4ri 2857	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
23	1, 2	deccl 12116	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
24	23, 4	dpval2 30571	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵.𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
25	22, 24	eqtr4i 2849	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵.𝐶)
26	7, 8, 25	3eqtri 2850	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   / cdiv 11299  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101  _cdp2 30549  .cdp 30566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102  df-dp2 30550  df-dp 30567

This theorem is referenced by:  dpmul4  30592