Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd2 30513
Description: Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpadd2.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpadd2.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpadd2.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpadd2.d 𝐷 ∈ ℝ+
dpadd2.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd2.f 𝐹 ∈ ℝ+
dpadd2.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd2.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd2.i (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
dpadd2.1 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
Assertion
Ref Expression
dpadd2 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = (𝐼.𝐸𝐹)

Proof of Theorem dpadd2
StepHypRef Expression
1 dpadd2.g . . . 4 𝐺 ∈ ℕ0
2 dpadd2.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0rei 11896 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ
4 dpadd2.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
5 rpre 12385 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
7 dp2cl 30483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
83, 6, 7mp2an 688 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℝ
91, 8dpval2 30496 . . 3 (𝐺.𝐴𝐵) = (𝐺 + (𝐴𝐵 / 10))
10 dpadd2.h . . . 4 𝐻 ∈ ℕ0
11 dpadd2.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0rei 11896 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
13 dpadd2.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
14 rpre 12385 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
16 dp2cl 30483 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶𝐷 ∈ ℝ)
1712, 15, 16mp2an 688 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℝ
1810, 17dpval2 30496 . . 3 (𝐻.𝐶𝐷) = (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10))
199, 18oveq12i 7157 . 2 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = ((𝐺 + (𝐴𝐵 / 10)) + (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10)))
201nn0cni 11897 . . 3 𝐺 ∈ ℂ
218recni 10643 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℂ
22 10nn 12102 . . . . 5 10 ∈ ℕ
2322nncni 11636 . . . 4 10 ∈ ℂ
2422nnne0i 11665 . . . 4 10 ≠ 0
2521, 23, 24divcli 11370 . . 3 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
2610nn0cni 11897 . . 3 𝐻 ∈ ℂ
2717recni 10643 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
2827, 23, 24divcli 11370 . . 3 (𝐶𝐷 / 10) ∈ ℂ
2920, 25, 26, 28add4i 10852 . 2 ((𝐺 + (𝐴𝐵 / 10)) + (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10))) = ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)))
30 dpadd2.i . . . 4 (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
3121, 27, 23, 24divdiri 11385 . . . . 5 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))
32 dpadd2.1 . . . . . . 7 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
33 dpval 30493 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵)
342, 6, 33mp2an 688 . . . . . . . 8 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
35 dpval 30493 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷)
3611, 15, 35mp2an 688 . . . . . . . 8 (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷
3734, 36oveq12i 7157 . . . . . . 7 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)
38 dpadd2.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
39 dpadd2.f . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℝ+
40 rpre 12385 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℝ
42 dpval 30493 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ) → (𝐸.𝐹) = 𝐸𝐹)
4338, 41, 42mp2an 688 . . . . . . 7 (𝐸.𝐹) = 𝐸𝐹
4432, 37, 433eqtr3i 2849 . . . . . 6 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
4544oveq1i 7155 . . . . 5 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = (𝐸𝐹 / 10)
4631, 45eqtr3i 2843 . . . 4 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = (𝐸𝐹 / 10)
4730, 46oveq12i 7157 . . 3 ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))) = (𝐼 + (𝐸𝐹 / 10))
481, 10nn0addcli 11922 . . . . 5 (𝐺 + 𝐻) ∈ ℕ0
4930, 48eqeltrri 2907 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
5038nn0rei 11896 . . . . 5 𝐸 ∈ ℝ
51 dp2cl 30483 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
5250, 41, 51mp2an 688 . . . 4 𝐸𝐹 ∈ ℝ
5349, 52dpval2 30496 . . 3 (𝐼.𝐸𝐹) = (𝐼 + (𝐸𝐹 / 10))
5447, 53eqtr4i 2844 . 2 ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))) = (𝐼.𝐸𝐹)
5519, 29, 543eqtri 2845 1 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = (𝐼.𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   / cdiv 11285  0cn0 11885  cdc 12086  +crp 12377  cdp2 30474  .cdp 30491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087  df-rp 12378  df-dp2 30475  df-dp 30492
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  31818
  Copyright terms: Public domain W3C validator