Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpexpp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpexpp1 29744
Description: Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpexpp1.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpexpp1.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpexpp1.1 (𝑃 + 1) = 𝑄
dpexpp1.p 𝑃 ∈ ℤ
dpexpp1.q 𝑄 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dpexpp1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))

Proof of Theorem dpexpp1
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 10pos 11553 . . . . . 6 0 < 10
31, 2gtneii 10187 . . . . 5 10 ≠ 0
4 dpexpp1.a . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
5 dpexpp1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℝ+
64, 5rpdp2cl 29717 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
7 rpre 11877 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 ∈ ℝ+𝐴𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 ∈ ℝ
98recni 10090 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
10 10re 11555 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
1110, 2pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
12 elrp 11872 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
1311, 12mpbir 221 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ+
14 dpexpp1.p . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℤ
15 rpexpcl 12919 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℤ) → (10↑𝑃) ∈ ℝ+)
1613, 14, 15mp2an 708 . . . . . . . 8 (10↑𝑃) ∈ ℝ+
17 rpcn 11879 . . . . . . . 8 ((10↑𝑃) ∈ ℝ+ → (10↑𝑃) ∈ ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (10↑𝑃) ∈ ℂ
199, 18mulcli 10083 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) ∈ ℂ
20 10nn0 11554 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 11342 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
2219, 21divcan1zi 10799 . . . . 5 (10 ≠ 0 → (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
2421, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
25 div23 10742 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑃) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)))
269, 18, 24, 25mp3an 1464 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃))
2726oveq1i 6700 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
2823, 27eqtr3i 2675 . . 3 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
299, 21, 3divcli 10805 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
3029, 18, 21mulassi 10087 . . 3 (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10))
31 expp1z 12949 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10))
3221, 3, 14, 31mp3an 1464 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10)
33 dpexpp1.1 . . . . . 6 (𝑃 + 1) = 𝑄
3433oveq2i 6701 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = (10↑𝑄)
3532, 34eqtr3i 2675 . . . 4 ((10↑𝑃) · 10) = (10↑𝑄)
3635oveq2i 6701 . . 3 ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
3728, 30, 363eqtri 2677 . 2 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
384, 5dpval3rp 29736 . . 3 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
3938oveq1i 6700 . 2 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
40 0nn0 11345 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
4140, 6dpval3rp 29736 . . . 4 (0.𝐴𝐵) = 0𝐴𝐵
426dp20h 29714 . . . 4 0𝐴𝐵 = (𝐴𝐵 / 10)
4341, 42eqtri 2673 . . 3 (0.𝐴𝐵) = (𝐴𝐵 / 10)
4443oveq1i 6700 . 2 ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
4537, 39, 443eqtr4i 2683 1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   / cdiv 10722  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  +crp 11870  cexp 12900  cdp2 29705  .cdp 29723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dp2 29706  df-dp 29724
This theorem is referenced by:  0dp2dp  29745  hgt750lemd  30854  hgt750lem  30857
  Copyright terms: Public domain W3C validator