Theorem dpjdisj 18368

Description: The two subgroups that appear in dpjval 18371 are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjdisj.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dpjdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })

Proof of Theorem dpjdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjlem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
4	1, 2, 3	dpjlem 18366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))
5	4	ineq1d 3796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
6	1, 2	dprdf2 18322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
7		disjdif 4017	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
9		undif2 4021	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
10	3	snssd 4314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
11		ssequn1 3766	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
12	10, 11	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
13	9, 12	syl5req 2673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
14		eqid 2626	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
15		dpjdisj.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	6, 8, 13, 14, 15	dmdprdsplit 18362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })))
17	1, 16	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 }))
18	17	simp3d 1073	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
19	5, 18	eqtr3d 2662	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ∖ cdif 3557   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  dom cdm 5079   ↾ cres 5081  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0_gc0g 16016  Cntzccntz 17664   DProd cdprd 18308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-gim 17617  df-cntz 17666  df-oppg 17692  df-lsm 17967  df-cmn 18111  df-dprd 18310

This theorem is referenced by:  dpjf  18372  dpjidcl  18373  dpjlid  18376  dpjghm  18378