Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul 29749
Description: Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpmul.j 𝐽 ∈ ℕ0
dpmul.k 𝐾 ∈ ℕ0
dpmul.1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
dpmul.2 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
dpmul.3 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
dpmul.4 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
dpmul.5 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
dpmul.6 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
Assertion
Ref Expression
dpmul ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)

Proof of Theorem dpmul
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11550 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4 dpmul.c . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
5 dpmul.d . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
6 eqid 2651 . . . 4 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷
7 dpmul.k . . . 4 𝐾 ∈ ℕ0
8 dpmul.2 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) = 𝑀
91, 5nn0mulcli 11369 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
108, 9eqeltrri 2727 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
11 dpmul.e . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
1210, 11nn0addcli 11368 . . . 4 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℕ0
13 eqid 2651 . . . . . . 7 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
14 dpmul.3 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐶) = 𝐿
152, 4nn0mulcli 11369 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
1614, 15eqeltrri 2727 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℕ0
17 dpmul.1 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) = 𝐹
184, 1, 2, 13, 16, 17, 14decmul1 11623 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · 𝐶) = 𝐹𝐿
1918oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
20 dfdec10 11535 . . . . . 6 𝐹𝐿 = ((10 · 𝐹) + 𝐿)
2120oveq1i 6700 . . . . 5 (𝐹𝐿 + (𝑀 + 𝐸)) = (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸))
22 10nn0 11554 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
2322nn0cni 11342 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
241, 4nn0mulcli 11369 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
2517, 24eqeltrri 2727 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℕ0
2625nn0cni 11342 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℂ
2723, 26mulcli 10083 . . . . . . 7 (10 · 𝐹) ∈ ℂ
2816nn0cni 11342 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
2912nn0cni 11342 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝐸) ∈ ℂ
3027, 28, 29addassi 10086 . . . . . 6 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
31 dpmul.5 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = 𝐺𝐽
3210nn0cni 11342 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3311nn0cni 11342 . . . . . . . . 9 𝐸 ∈ ℂ
3428, 32, 33addassi 10086 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 𝑀) + 𝐸) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
35 dfdec10 11535 . . . . . . . 8 𝐺𝐽 = ((10 · 𝐺) + 𝐽)
3631, 34, 353eqtr3ri 2682 . . . . . . 7 ((10 · 𝐺) + 𝐽) = (𝐿 + (𝑀 + 𝐸))
3736oveq2i 6701 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = ((10 · 𝐹) + (𝐿 + (𝑀 + 𝐸)))
38 dfdec10 11535 . . . . . . 7 𝐼𝐽 = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
39 dpmul.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ ℕ0
4039nn0cni 11342 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℂ
4123, 26, 40adddii 10088 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺))
42 dpmul.6 . . . . . . . . . 10 (𝐹 + 𝐺) = 𝐼
4342oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (10 · (𝐹 + 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4441, 43eqtr3i 2675 . . . . . . . 8 ((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) = (10 · 𝐼)
4544oveq1i 6700 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐼) + 𝐽)
4623, 40mulcli 10083 . . . . . . . 8 (10 · 𝐺) ∈ ℂ
47 dpmul.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℕ0
4847nn0cni 11342 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ ℂ
4927, 46, 48addassi 10086 . . . . . . 7 (((10 · 𝐹) + (10 · 𝐺)) + 𝐽) = ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽))
5038, 45, 493eqtr2ri 2680 . . . . . 6 ((10 · 𝐹) + ((10 · 𝐺) + 𝐽)) = 𝐼𝐽
5130, 37, 503eqtr2i 2679 . . . . 5 (((10 · 𝐹) + 𝐿) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
5219, 21, 513eqtri 2677 . . . 4 ((𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝑀 + 𝐸)) = 𝐼𝐽
538oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐷) + 𝐸) = (𝑀 + 𝐸)
54 dpmul.4 . . . . 5 (𝐵 · 𝐷) = 𝐸𝐾
555, 1, 2, 13, 7, 11, 53, 54decmul1c 11625 . . . 4 (𝐴𝐵 · 𝐷) = (𝑀 + 𝐸)𝐾
563, 4, 5, 6, 7, 12, 52, 55decmul2c 11627 . . 3 (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷) = 𝐼𝐽𝐾
572nn0rei 11341 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
58 dpcl 29726 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
591, 57, 58mp2an 708 . . . . . 6 (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
6059recni 10090 . . . . 5 (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
615nn0rei 11341 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℝ
62 dpcl 29726 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) ∈ ℝ)
634, 61, 62mp2an 708 . . . . . 6 (𝐶.𝐷) ∈ ℝ
6463recni 10090 . . . . 5 (𝐶.𝐷) ∈ ℂ
6560, 64, 23, 23mul4i 10271 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10))
6622dec0u 11558 . . . . 5 (10 · 10) = 100
6766oveq2i 6701 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · (10 · 10)) = (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100)
681, 57dpmul10 29731 . . . . 5 ((𝐴.𝐵) · 10) = 𝐴𝐵
694, 61dpmul10 29731 . . . . 5 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
7068, 69oveq12i 6702 . . . 4 (((𝐴.𝐵) · 10) · ((𝐶.𝐷) · 10)) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7165, 67, 703eqtr3i 2681 . . 3 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = (𝐴𝐵 · 𝐶𝐷)
7225, 39nn0addcli 11368 . . . . 5 (𝐹 + 𝐺) ∈ ℕ0
7342, 72eqeltrri 2727 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
747nn0rei 11341 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
7573, 47, 74dpmul100 29733 . . 3 ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) = 𝐼𝐽𝐾
7656, 71, 753eqtr4i 2683 . 2 (((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100)
7760, 64mulcli 10083 . . 3 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ
7847nn0rei 11341 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℝ
79 dp2cl 29715 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐽𝐾 ∈ ℝ)
8078, 74, 79mp2an 708 . . . . 5 𝐽𝐾 ∈ ℝ
81 dpcl 29726 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐽𝐾 ∈ ℝ) → (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ)
8273, 80, 81mp2an 708 . . . 4 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℝ
8382recni 10090 . . 3 (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ
84 10nn 11552 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
8584decnncl2 11563 . . . . 5 100 ∈ ℕ
8685nncni 11068 . . . 4 100 ∈ ℂ
8785nnne0i 11093 . . . 4 100 ≠ 0
8886, 87pm3.2i 470 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
89 mulcan2 10703 . . 3 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐼.𝐽𝐾) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)))
9077, 83, 88, 89mp3an 1464 . 2 ((((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) · 100) = ((𝐼.𝐽𝐾) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾))
9176, 90mpbi 220 1 ((𝐴.𝐵) · (𝐶.𝐷)) = (𝐼.𝐽𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cdc 11531  cdp2 29705  .cdp 29723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-dec 11532  df-dp2 29706  df-dp 29724
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  30858
  Copyright terms: Public domain W3C validator