MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd2d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprd2d2 18367
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d2.1 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprd2d2.2 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗𝐽𝑆))
dprd2d2.3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆))))
Assertion
Ref Expression
dprd2d2 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗   𝑗,𝐽   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem dprd2d2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 5190 . . . . . 6 Rel ({𝑖} × 𝐽)
21rgenw 2919 . . . . 5 𝑖𝐼 Rel ({𝑖} × 𝐽)
3 reliun 5202 . . . . 5 (Rel 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) ↔ ∀𝑖𝐼 Rel ({𝑖} × 𝐽))
42, 3mpbir 221 . . . 4 Rel 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽)
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽))
6 dprd2d2.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76ralrimivva 2965 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝐼𝑗𝐽 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 eqid 2621 . . . . 5 (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆) = (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)
98fmpt2x 7184 . . . 4 (∀𝑖𝐼𝑗𝐽 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆): 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽)⟶(SubGrp‘𝐺))
107, 9sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆): 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽)⟶(SubGrp‘𝐺))
11 dmiun 5295 . . . 4 dom 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) = 𝑖𝐼 dom ({𝑖} × 𝐽)
12 dmxpss 5526 . . . . . . 7 dom ({𝑖} × 𝐽) ⊆ {𝑖}
13 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
1413snssd 4311 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → {𝑖} ⊆ 𝐼)
1512, 14syl5ss 3595 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → dom ({𝑖} × 𝐽) ⊆ 𝐼)
1615ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝐼 dom ({𝑖} × 𝐽) ⊆ 𝐼)
17 iunss 4529 . . . . 5 ( 𝑖𝐼 dom ({𝑖} × 𝐽) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑖𝐼 dom ({𝑖} × 𝐽) ⊆ 𝐼)
1816, 17sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑖𝐼 dom ({𝑖} × 𝐽) ⊆ 𝐼)
1911, 18syl5eqss 3630 . . 3 (𝜑 → dom 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) ⊆ 𝐼)
20 dprd2d2.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗𝐽𝑆))
21 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑖𝐼)
22 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑗𝐽)
238ovmpt4g 6739 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝐼𝑗𝐽𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗) = 𝑆)
2421, 22, 6, 23syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗) = 𝑆)
2524anassrs 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑗𝐽) → (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗) = 𝑆)
2625mpteq2dva 4706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)) = (𝑗𝐽𝑆))
2720, 26breqtrrd 4643 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))
2827ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝐼 𝐺dom DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))
29 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑖𝐺
30 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑖dom DProd
31 nfcsb1v 3531 . . . . . . . 8 𝑖𝑥 / 𝑖𝐽
32 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑖𝑥
33 nfmpt21 6678 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)
34 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑖𝑗
3532, 33, 34nfov 6633 . . . . . . . 8 𝑖(𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)
3631, 35nfmpt 4708 . . . . . . 7 𝑖(𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))
3729, 30, 36nfbr 4661 . . . . . 6 𝑖 𝐺dom DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))
38 csbeq1a 3524 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥𝐽 = 𝑥 / 𝑖𝐽)
39 oveq1 6614 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗) = (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))
4038, 39mpteq12dv 4695 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)) = (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))
4140breq2d 4627 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → (𝐺dom DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)) ↔ 𝐺dom DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))))
4237, 41rspc 3289 . . . . 5 (𝑥𝐼 → (∀𝑖𝐼 𝐺dom DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)) → 𝐺dom DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))))
4328, 42mpan9 486 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))
44 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑦(𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)
45 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑗𝑥
46 nfmpt22 6679 . . . . . . 7 𝑗(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)
47 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑗𝑦
4845, 46, 47nfov 6633 . . . . . 6 𝑗(𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)
49 oveq2 6615 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑦 → (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗) = (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦))
5044, 48, 49cbvmpt 4711 . . . . 5 (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)) = (𝑦𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦))
51 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 𝑗 = 𝑧
5231nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 𝑗𝑥 / 𝑖𝐽
5351, 52nfan 1825 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝑗 = 𝑧𝑗𝑥 / 𝑖𝐽)
5438eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽𝑗𝑥 / 𝑖𝐽))
5554anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑗 = 𝑧𝑗𝐽) ↔ (𝑗 = 𝑧𝑗𝑥 / 𝑖𝐽)))
5653, 55equsexv 2106 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ (𝑗 = 𝑧𝑗𝐽)) ↔ (𝑗 = 𝑧𝑗𝑥 / 𝑖𝐽))
57 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧)) → 𝑖 = 𝑥)
58 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧)) → 𝑥𝐼)
5957, 58eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧)) → 𝑖𝐼)
6059biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧)) → (𝑗𝐽 ↔ (𝑖𝐼𝑗𝐽)))
6160pm5.32da 672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧) ∧ 𝑗𝐽) ↔ ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽))))
62 anass 680 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧) ∧ 𝑗𝐽) ↔ (𝑖 = 𝑥 ∧ (𝑗 = 𝑧𝑗𝐽)))
63 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩)
64 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
65 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 ∈ V
6664, 65opth 4907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧))
6763, 66bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩)
6867anbi1i 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑧) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)))
6961, 62, 683bitr3g 302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑖 = 𝑥 ∧ (𝑗 = 𝑧𝑗𝐽)) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽))))
7069exbidv 1847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ (𝑗 = 𝑧𝑗𝐽)) ↔ ∃𝑖(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽))))
7156, 70syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑗 = 𝑧𝑗𝑥 / 𝑖𝐽) ↔ ∃𝑖(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽))))
7271exbidv 1847 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (∃𝑗(𝑗 = 𝑧𝑗𝑥 / 𝑖𝐽) ↔ ∃𝑗𝑖(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽))))
73 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
74 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽𝑧𝑥 / 𝑖𝐽))
7573, 74ceqsexv 3228 . . . . . . . . 9 (∃𝑗(𝑗 = 𝑧𝑗𝑥 / 𝑖𝐽) ↔ 𝑧𝑥 / 𝑖𝐽)
76 excom 2039 . . . . . . . . 9 (∃𝑗𝑖(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ↔ ∃𝑖𝑗(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)))
7772, 75, 763bitr3g 302 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝑥 / 𝑖𝐽 ↔ ∃𝑖𝑗(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽))))
78 elrelimasn 5450 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) → (𝑧 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↔ 𝑥 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽)𝑧))
794, 78ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↔ 𝑥 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽)𝑧)
80 df-br 4616 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽)𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽))
81 eliunxp 5221 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) ↔ ∃𝑖𝑗(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)))
8279, 80, 813bitri 286 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↔ ∃𝑖𝑗(⟨𝑥, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)))
8377, 82syl6bbr 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝑥 / 𝑖𝐽𝑧 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥})))
8483eqrdv 2619 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 / 𝑖𝐽 = ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}))
8584mpteq1d 4700 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)) = (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))
8650, 85syl5eq 2667 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)) = (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))
8743, 86breqtrd 4641 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))
88 dprd2d2.3 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆))))
8926oveq2d 6623 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))) = (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆)))
9089mpteq2dva 4706 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆))))
9188, 90breqtrrd 4643 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))))
92 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥(𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))
93 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑖 DProd
9429, 93, 36nfov 6633 . . . . . 6 𝑖(𝐺 DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))
9540oveq2d 6623 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → (𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))) = (𝐺 DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))))
9692, 94, 95cbvmpt 4711 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))))
9786oveq2d 6623 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺 DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦))))
9897mpteq2dva 4706 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝑥 / 𝑖𝐽 ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))))
9996, 98syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽 ↦ (𝑖(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑗)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))))
10091, 99breqtrd 4641 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))))
101 eqid 2621 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1025, 10, 19, 87, 100, 101dprd2da 18365 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆))
1035, 10, 19, 87, 100, 101dprd2db 18366 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)) = (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦))))))
10499, 90eqtr3d 2657 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆))))
105104oveq2d 6623 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ ( 𝑖𝐼 ({𝑖} × 𝐽) “ {𝑥}) ↦ (𝑥(𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)𝑦))))) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆)))))
106103, 105eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆)))))
107102, 106jca 554 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑖𝐼, 𝑗𝐽𝑆)) = (𝐺 DProd (𝑖𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗𝐽𝑆))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  csb 3515  wss 3556  {csn 4150  cop 4156   ciun 4487   class class class wbr 4615  cmpt 4675   × cxp 5074  dom cdm 5076  cima 5079  Rel wrel 5081  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cmpt2 6609  mrClscmrc 16167  SubGrpcsubg 17512   DProd cdprd 18316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-hash 13061  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-mulg 17465  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-gim 17625  df-cntz 17674  df-oppg 17700  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-dprd 18318
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  18409
  Copyright terms: Public domain W3C validator