MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf11 18468
Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdf11.4 (𝜑𝐻𝑊)
Assertion
Ref Expression
dprdf11 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2 eldprdi.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 eldprdi.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 eldprdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑊)
5 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5dprdff 18457 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7 ffn 6083 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐹 Fn 𝐼)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
9 dprdf11.4 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑊)
101, 2, 3, 9, 5dprdff 18457 . . . 4 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
11 ffn 6083 . . . 4 (𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐻 Fn 𝐼)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
13 eqfnfv 6351 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
148, 12, 13syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
15 eldprdi.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
1715, 1, 2, 3, 4, 9, 16dprdfsub 18466 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
1817simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
1915, 1, 2, 3, 18dprdfeq0 18467 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 )))
2017simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
2120eqeq1d 2653 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
222, 3dprddomcld 18446 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
23 fvexd 6241 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
24 fvexd 6241 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ V)
256feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2610feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐻𝑥)))
2722, 23, 24, 25, 26offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))))
2827eqeq1d 2653 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 ) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 )))
29 ovex 6718 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V
3029rgenw 2953 . . . . . 6 𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V
31 mpteqb 6338 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ))
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 )
33 dprdgrp 18450 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
342, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
366ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
3710ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
385, 15, 16grpsubeq0 17548 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4039ralbidva 3014 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4132, 40syl5bb 272 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4228, 41bitrd 268 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4319, 21, 423bitr3d 298 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
445dprdssv 18461 . . . 4 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
4515, 1, 2, 3, 4eldprdi 18463 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4644, 45sseldi 3634 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
4715, 1, 2, 3, 9eldprdi 18463 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4844, 47sseldi 3634 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
495, 15, 16grpsubeq0 17548 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
5034, 46, 48, 49syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
5114, 43, 503bitr2rd 297 1 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-cmn 18241  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  18482  dpjeq  18504
  Copyright terms: Public domain W3C validator